Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án chi tiết

Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} u={{x}^{2}} \\  {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2xdx \\  {} v=\sin x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$ . Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=2x+1 \\  {} du={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2dx \\  {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x+1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=3{{e}^{2}}+1$

Suy ra $a=3;b=0;c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=10$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u={{x}^{2}}+1 \\  {} dv=\sin xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2xdx \\  {} v=-\cos x \\ \end{array} \right.$

Khi đó $I=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left. \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx-1+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}}$

Xét tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}$, ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=x \\  {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=dx \\  {} v=\sin x \\ \end{array} \right.$

Khi đó $J=\left. x\sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x}dx=\left. \frac{\pi }{2}+\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-1$

Vậy $I=\pi -1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=0 \\  {} b=1 \\  {} c=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=2$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln x \\  {} dv=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=\frac{dx}{x} \\  {} v={{x}^{3}}+x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( {{x}^{3}}+x \right)\ln x \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$

$=30\ln 3-10\ln 2-\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x \right) \right|_{2}^{3}=30\ln 3-10\ln 2-\frac{22}{3}\Rightarrow a=30;b=-10;c=-3b$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \\  {} v=\frac{dx}{\sqrt{x}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=\frac{dx}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\  {} v=2\left( \sqrt{x}+1 \right) \\ \end{array} \right.$, khi đó $I=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}$

$=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}=6.\ln 3-4.\ln 2-2=a.\ln 3+b.\ln 2+c\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=6 \\  {} b=-4 \\  {} c=-2 \\ \end{array} \right.$

Vậy tổng $a+b+c=6-4-2=0$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=x \\  {} dv=\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=dx \\  {} v=\frac{1}{1+\cos x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \frac{x}{1+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+\cos x}}$

$=\frac{1}{2}\pi -\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\pi -\left. \tan \frac{x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\pi -1\Rightarrow a=1;b=2;c=1$

Do đó $a+b=3c$. Chọn A.