Cách Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Cách Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Phương pháp giải

Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁; d₂. Ta thực hiện như sau:

+ Chuyển đường d₁ và d₂ về dạng tham số t và u

+ Tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}}$và $B\in {{d}_{2}}$theo 2 ẩn t và u.

+ Do d là đường vuông góc chung của d₁; d₂ nên $\left\{ \begin{array}  {} d\bot {{d}_{1}} \\  {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}  {} t \\  {} u \\ \end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Bài tập viết phương trình đường thẳng vuông góc chung trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(1;0;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(0;-2;3)$

Gọi $A(1+t;0;-5+t)\in {{d}_{1}}$và $B(0;4-2u;5+3u)\in {{d}_{2}}$suy ra $\overrightarrow{AB}(-1-t;4-2u;10+3u-t)$

Do d là đường vuông góc chung của d₁; d₂ nên $\left\{ \begin{array}  {} d\bot {{d}_{1}} \\  {} d\bot {{d}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \\  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1-t+10+3u-t=0 \\  {} -8+4u+30+9u-3t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -2t+3u=-9 \\  {} -3t+13t=-22 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t=3 \\  {} u=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} A(4;0;-2) \\  {} B(0;6;2) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(4;-6;-4)$

Phương trình đường thẳng AB là: $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{-2}$.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;-1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(1;-1;1)$

Gọi $M(2+2t;1-t;2+t)\in {{d}_{1}};N(u;4-u;1+u)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(u-2t-2;3-u-t;-1+u-t)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2(u-2t-2)+u+t-3+u-t-1=0 \\  {} u-2t-2+u+t-3+u-t-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} u=2 \\  {} t=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow M(2;1;2);N(2;2;3)$

Suy ra $\overrightarrow{MN}(0;1;1)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=1+t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;1;1)$và ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(-4;1;-1)$

Gọi $M(-1+2t;-2+t;1+t)\in {{d}_{1}};N(-2-4u;1+u;-2-u)\in {{d}_{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-4u-2t-1;u-t+3;-u-t-3)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \\  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -8u-4t-2+u-t+3-u-t-3=0 \\  {} 16u+8t+4+u-t+3+u+t+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} u=-1 \\  {} t=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} M(1;-1;2) \\  {} N(2;0;-1) \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\overrightarrow{MN}(1;1;-3)\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=-1+t \\  {} z=2-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow A(3;1;-4)\in MN$. Chọn A.

@ Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải

Cách 1:

- Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$chứa d và vuông góc với (P)

Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right]$

- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta =(\alpha )\cap (P)$

Cách 2: Lấy điểm $A\in d$, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H

Do $\Delta \bot (\alpha )$và $\Delta \subset (P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]$

Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm $A=d\cap (P)$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(1-t;2+2t;-1-t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 1-t-2-2t-1-t-1=0\Rightarrow t=-\frac{3}{4}$

Suy ra $A\left( \frac{7}{4};\frac{1}{2};-\frac{1}{4} \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-1;1);(1;0;-1) \right]=(1;2;1)$

Vậy $\Delta :\frac{x-\frac{7}{4}}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{2}=\frac{z+\frac{1}{4}}{1}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(2+t;-1+3t;3+2t)=d\cap (P)\Rightarrow A\in (P)\Rightarrow 4+2t-1+3t-9-6t+5=0\Rightarrow t=-1$

Suy ra $A\left( 1;-4;1 \right)$và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (2;1;-3);(-11;7;-5) \right]=(16;43;25)$

Vậy $\Delta :\frac{x-1}{16}=\frac{y+4}{43}=\frac{z-1}{25}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A(-3+2t;-1+t;-t)\in d$, cho $A\cap (P)\Rightarrow -3+2t+3-3t-2t+6=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow A(1;1;-2)\in \Delta $

Lại có $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right] \right]=\left[ (1;-3;2);(-1;-5;-7) \right]=(31;5;-8)$

Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=1+31t \\  {} y=1+5t \\  {} z=2-8t \\ \end{array} \right.$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: (Oxy): z = 0, các điểm $A(1;-2;3),B(3;1;4)\in d$. Gọi A’ là hình chiếu của A lên (Oxy)

$\Rightarrow A'(1;-2;0)$. Gọi B’ là hình chiếu của B lên (Oxy) $\Rightarrow B'(3;1;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}(2;3;0)$. Phương trình đường thẳng hình chiếu là: $\left\{ \begin{array}  {} x=1+2t \\  {} y=-2+3t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

.