2sin ^2x + 3  - 1 sin xcos x - 3  - 1 cos ^2x = 1 x

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho ({cos ^2}x), sử dụng công thức (dfrac{1}{{{{cos }^2}x}} = 1 + {tan ^2}x) đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Giải chi tiết:

(2{sin ^2}x + left( {sqrt 3  - 1} right)sin xcos x - left( {sqrt 3  - 1} right){cos ^2}x = 1).

TH1: (cos x = 0 Leftrightarrow x = dfrac{pi }{2} + kpi ) ( Rightarrow {sin ^2}x = 1).

Thay vào phương trình ta có: (2.1 + 0 - 0 = 1 Leftrightarrow 2 = 1) (vô lí).

TH2: (cos x ne 0 Leftrightarrow x ne dfrac{pi }{2} + kpi ).

Chia cả 2 vế của phương trình cho ({cos ^2}x) ta được:

(begin{array}{l},,,,,,2{tan ^2}x + left( {sqrt 3  - 1} right)tan x - left( {sqrt 3  - 1} right) = 1 + {tan ^2}x\ Leftrightarrow {tan ^2}x + left( {sqrt 3  - 1} right)tan x - sqrt 3  = 0end{array})

Nhận thấy (a + b + c = 1 + sqrt 3  - 1 - sqrt 3  = 0) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

(left[ begin{array}{l}tan x = 1\tan x =  - sqrt 3 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{4} + kpi \x =  - dfrac{pi }{3} + kpi end{array} right.,,left( {k in mathbb{Z}} right),,left( {tm} right)).

Vậy nghiệm của phương trình là (x = dfrac{pi }{4} + kpi ;,,x =  - dfrac{pi }{3} + kpi ).