a Với ab 0 Chứng minh a + b 2 ab b Áp dụng tính giá t

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức: ({left( {sqrt a  - sqrt b } right)^2} ge 0,,,forall a,,,b ge 0.)  

b) Áp dụng bất đẳng thức (a + b ge 2sqrt {ab} ) khi (a,,,b ge 0) để tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết:

a) Với (a,,,b ge 0.) Chứng minh (a + b ge 2sqrt {ab} .)

Với mọi (a,,,b ge 0) ta có: ({left( {sqrt a  - sqrt b } right)^2} ge 0)

( Leftrightarrow a - 2sqrt {ab}  + b ge 0) ( Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab} ,,,left( {dpcm} right).)

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow a = b.)

b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức (S = sqrt {x - 2}  + sqrt {y - 3} ,) biết (x + y = 6.)

Điều kiện: (x ge 2,,,y ge 3.)

Ta có: (S = sqrt {x - 2}  + sqrt {y - 3} )

(begin{array}{l} Rightarrow {S^2} = x - 2 + y - 3 + 2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)} \,,,,,,,,,,,,,, = x + y - 5 + 2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)} \,,,,,,,,,,,,,, = 6 - 5 + 2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)} \,,,,,,,,,,,,,, = 1 + 2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)} .end{array})

Áp dụng bất đẳng thức (a + b ge 2sqrt {ab} ) với (a,,,b ge 0) ta có:

(2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)}  le x - 2 + y - 3 = 6 - 5 = 1)

( Rightarrow {S^2} = 1 + 2sqrt {left( {x - 2} right)left( {y - 3} right)}  le 1 + 1 = 2)

( Rightarrow {S^2} le 2 Rightarrow S le sqrt 2 .)

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x - 2 = y - 3\x + y = 6end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x - y =  - 1\x + y = 6end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{5}{2},,left( {tm} right)\y = dfrac{7}{2},,left( {tm} right)end{array} right.)

Vậy giá trị lớn nhất của (S = sqrt 2 ) khi (left( {x;,,y} right) = left( {dfrac{5}{2};,,dfrac{7}{2}} right).)