Cho (Aleft( { - 2;,,3} right),,,Bleft( {dfrac{1}{4};,,0} right),,,Cleft( {2;,,0} right)). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác (ABC) là
Phương pháp giải:
+ Xác định (overrightarrow {AB} ,,,overrightarrow {AC} ) và (AB,,,AC).
+ Giả sử (AD) là tia phân giác của (angle BAC).
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: (dfrac{{DB}}{{DC}} = dfrac{{AB}}{{AC}})( Rightarrow )Tọa độ điểm (D).
+ Gọi (BJ) là đường phân giác trong góc (B) với (J) thuộc (AD).
(dfrac{{JA}}{{JD}} = dfrac{{AB}}{{BD}} Rightarrow )Tọa độ điểm (J).
( Rightarrow J) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Giải chi tiết:
Ta có: (Aleft( { - 2;,,3} right),,,Bleft( {dfrac{1}{4};,,0} right),,,Cleft( {2;,,0} right))
(begin{array}{l}overrightarrow {AB} = left( {dfrac{9}{4}; - 3} right), Rightarrow AB = dfrac{{15}}{4},\overrightarrow {AC} = left( {4; - 3} right),,,, Rightarrow AC = 5end{array})
Giả sử (AD) là tia phân giác của (angle BAC). Khi đó, ta có:
(dfrac{{DB}}{{DC}} = dfrac{{AB}}{{AC}})( Rightarrow dfrac{{DB}}{{DC}} = dfrac{3}{4})
Gọi (Dleft( {x;,,y} right))( Rightarrow overrightarrow {DC} = left( {2 - x;,, - y} right),)(overrightarrow {DB} = left( {dfrac{1}{4} - x;,, - y} right))
Ta có: (dfrac{{DB}}{{DC}} = dfrac{3}{4} Rightarrow )(overrightarrow {DB} = - dfrac{3}{4}overrightarrow {DC} )( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{1}{4} - x = - dfrac{3}{4}left( {2 - x} right)\ - y = - dfrac{3}{4}left( { - y} right)end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1\y = 0end{array} right.)( Rightarrow Dleft( {1;,,0} right))
Gọi (BJ) là đường phân giác trong góc (B) với (J) thuộc (AD). Gọi (Jleft( {x;y} right)).
Ta có:
(overrightarrow {BA} = left( { - dfrac{9}{4};3} right))( Rightarrow AB = dfrac{{15}}{4})
(overrightarrow {BD} = left( {dfrac{3}{4};0} right))( Rightarrow BD = dfrac{3}{4})
Theo tính chất đường phân giác (angle B) ta có:
(dfrac{{overrightarrow {JA} }}{{overrightarrow {JD} }} = dfrac{{overrightarrow {BA} }}{{overrightarrow {BD} }})( Rightarrow overrightarrow {JA} = - 5overrightarrow {JD} )( Rightarrow left{ begin{array}{l} - 2 - x = - 5 + 5x\3 - y = 5yend{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{1}{2}\y = dfrac{1}{2}end{array} right.)
( Rightarrow Jleft( {dfrac{1}{2};,,dfrac{1}{2}} right))
Chọn A.