Cho (a,,,b) là các số thực dương thỏa mãn ({log _{sqrt {ab} }}left( {a,sqrt[3]{b}} right) = 3.) Tính ({log _{sqrt {ab} }}left( {b,sqrt[3]{a}} right).)
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức
({log _a}left( {xy} right) = {log _a}x + {log _a}y,,left( {0 0} right))
({log _{{a^n}}}{b^m} = dfrac{m}{n}{log _a}b,,left( {0 0} right))
({log _a}b = dfrac{1}{{{{log }_b}a}},,left( {0 < a,b ne 1} right))
Từ giả thiết tính ({log _a}b).
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay ({log _a}b) vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
(begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left( {asqrt[3]{b}} right) = {log _{sqrt {ab} }}left( {sqrt[3]{{ab}}.sqrt[3]{{{a^2}}}} right)\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{a^2}}}\ = {log _{{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}{left( {ab} right)^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{a^{dfrac{2}{3}}}}}{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}2.{log _{ab}}left( {ab} right) + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_a}left( {ab} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {1 + {{log }_a}b} right)}}\ Rightarrow dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {1 + {{log }_a}b} right)}} = 3\ Rightarrow {log _a}b = - dfrac{3}{7}end{array})
Khi đó ta có:
(begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left( {bsqrt[3]{a}} right) = {log _{sqrt {ab} }}left( {sqrt[3]{{ab}}sqrt[3]{{{b^2}}}} right)\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{b^2}}}\ = {log _{{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}{left( {ab} right)^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{b^{dfrac{2}{3}}}}}{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}.2.{log _{ab}}left( {ab} right) + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_b}left( {ab} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {{{log }_b}a + 1} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{4}{3}.dfrac{1}{{ - dfrac{7}{3} + 1}} = - dfrac{1}{3}end{array})
Chọn B.