Cho đa giác lồi ({A_1}{A_2}...{A_{20}}). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng:
Phương pháp giải:
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: “3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”, suy ra biến cố đối (overline A ): “3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
- Tính số phần tử của biến cố đối, xét 2 TH:
+ TH1: Số tam giác chỉ chứa 2 cạnh của đa giác.
+ TH2: Số tam giác chứa đúng 1 cạnh của đa giác.
- Sử dụng công thức tính xác suất (Pleft( A right) = 1 - Pleft( {overline A } right) = 1 - dfrac{{nleft( {overline A } right)}}{{nleft( Omega right)}}).
Giải chi tiết:
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác, suy ra số phần tử của không gian mẫu là (C_{20}^3 = 1140).
Gọi A là biến cố: “3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”.
( Rightarrow overline A ): “3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
TH1: Số tam giác chỉ chứa 2 cạnh của đa giác là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác thì có 20 tam giác như vậy.
TH2: Số tam giác chứa đúng 1 cạnh của đa giác là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kế tiếp hai đỉnh kia.
Xét 1 cạnh bất kì, ta có (C_{16}^1) cách chọn 1 đỉnh trong 16 đỉnh còn lại (trừ 2 đỉnh đã chọn và 2 đỉnh kề với nó).
( Rightarrow ) Có (20.16 = 320) tam giác.
( Rightarrow nleft( {overline A } right) = 20 + 320 = 340).
Vậy xác suất của biến cố A là: (Pleft( A right) = 1 - Pleft( {overline A } right) = 1 - dfrac{{340}}{{1140}} = dfrac{{40}}{{57}}).
Chọn B.