Cho hàm số y = x4 + 2m2x2 + 1 ( 1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2.C
Câu hỏi và phương pháp giải
Nhận biếtCho hàm số y = x4 + 2m2x2 + 1 ( 1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2.Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Đáp án đúng: F
Lời giải của Luyện Tập 247
Giải chi tiết:
1. Học sinh tự giải.
2. Số giao điểm của hai đồ thị tương ứng với số nghiệm của phương trình: x4 + 2m2x2 + 1 = x + 1⇔x(x3 + 2m2x – 1) = 0 (*)⇔
Phương trình (*) có một nghiệm x = 0
Ta sẽ chứng minh phương trình x3 + 2m2x – 1 = 0 (**) có đúng một nghiệm khác 0 với mọi giá trị của m.
Nếu m = 0 thì phương trình (**) trở thành : x3 – 1 = 0 ⇔ x = 1=>PT (*) có đúng hai nghiệm
Nếu m ≠0. Xét hàm số f(x) = x3 + 2m2x – 1 trên R. Ta có f’(x) = 3x2 + 2m2 > 0 ∀x∈R=>hàm số f(x) liên tục và luôn đồng biến trên R
=>PT f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm
Ta có f(0) = -1, f(1) = 2m2 > 0 =>f(0)f(1) f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Phương trình (**) có đúng một nghiệm khác 0 (đpcm)
( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.