Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Cho hình chóp SABC có AB = AC = 4 BC = 2 SA = 4 3 angl

Cho hình chóp SABC có AB = AC = 4 BC = 2 SA = 4 3 angl

Câu hỏi và phương pháp giải

Nhận biết

Cho hình chóp (S.ABC) có (AB = AC = 4), (BC = 2), (SA = 4sqrt 3 ), (angle SAB = angle SAC = {30^0}). Gọi ({G_1};,,{G_2};,,{G_3}) lần lượt là trọng tâm các tam giác (Delta SBC,,,Delta SCA,,,Delta SAB) và (T) đối xứng với (S) qua mặt phẳng (left( {ABC} right)). Thể tích khối chóp (T{G_1}{G_2}{G_3}) bằng (dfrac{a}{b}), với (a,,,b in mathbb{N}) và (dfrac{a}{b}) tối giản. Tính giá trị của biểu thức (P = 2a - b).


Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Gọi (M) là trung điểm của (BC), chứng minh (BC bot left( {SAM} right)) , từ đó xác định chiều cao hạ từ đỉnh (S) của khối chóp bằng cách sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.


- Xác định tỉ số (dfrac{{dleft( {T;left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)} right)}}{{dleft( {S;left( {ABC} right)} right)}};,,,dfrac{{{S_{Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}}), từ đó suy ra tỉ số (dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}}).


- Tính chiều cao của khối chóp, chính là chiều cao của tam giác (SAM) nhờ vào diện tích tam giác (SAM), muốn tính ({S_{Delta SAM}}) ta sử dụng định lí Pytago tính từng cạnh của tam giác sau đó áp dụng công thức He-rong ({S_{Delta SAM}} = sqrt {pleft( {p - SA} right)left( {p - AM} right)left( {p - SM} right)} ) với (p) là nửa chu vi tam giác (SAM).


- Tính ({V_{S.ABC}}), từ đó tính ({V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}), suy ra (a,,,b) và tính (P).

Giải chi tiết:

Xét tam giác (SAB) và (Delta SAC) có:

(begin{array}{l}SA,,chung\AB = AC,,left( {gt} right)\angle SAB = angle SAC = {30^0},,left( {gt} right)\ Rightarrow Delta SAB = Delta SAC,,left( {c.g.c} right)end{array})

( Rightarrow SB = SC) (2 cạnh tương ứng) ( Rightarrow Delta SBC) cân tại (S).

Gọi (M,,,N) lần lượt là trung điểm của (BC,,,AC) ta có

(left{ begin{array}{l}SM bot BC\AM bot BCend{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAM} right)).

Trong (left( {SAM} right)) kẻ (SH bot AM,,left( {H in AM} right)) ta có: (left{ begin{array}{l}SH bot AM\SH bot BC,,left( {BC bot left( {SAM} right)} right)end{array} right. Rightarrow SH bot left( {ABC} right)).

Dễ thấy (left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)//left( {ABC} right)) và (dfrac{{dleft( {S;left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)} right)}}{{dleft( {S;left( {ABC} right)} right)}} = dfrac{{S{G_1}}}{{SM}} = dfrac{2}{3}) ( Rightarrow dleft( {S;left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)} right) = dfrac{2}{3}SH).

( Rightarrow dleft( {T;left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)} right) = 2SH - dfrac{2}{3}SH = dfrac{4}{3}SH).

Lại có (Delta {G_1}{G_2}{G_3}) đồng dạng với (Delta ABC) theo tỉ số (k = dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{AB}} = dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{MN}}.dfrac{{MN}}{{AB}} = dfrac{2}{3}.dfrac{1}{2} = dfrac{1}{3}).

( Rightarrow {S_{Delta {G_1}{G_2}{G_3}}} = dfrac{1}{9}{S_{Delta ABC}}).

(begin{array}{l} Rightarrow dfrac{{{V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = dfrac{{dleft( {T;left( {{G_1}{G_2}{G_3}} right)} right)}}{{dleft( {S;left( {ABC} right)} right)}}.dfrac{{{S_{Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = dfrac{4}{3}.dfrac{1}{9} = dfrac{4}{{27}}\ Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}}end{array})

Xét tam giác vuông (ABM) có: (AM = sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = sqrt {{4^2} - {1^2}}  = sqrt {15} ).

( Rightarrow {S_{Delta ABC}} = dfrac{1}{2}AM.BC = dfrac{1}{2}.sqrt {15} .2 = sqrt {15} ).

Xét tam giác (SAB) có:

(begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.AB.cos angle SAB\,,,,,,,,,, = {left( {4sqrt 3 } right)^2} + {4^2} - 2.4sqrt 3 .4.cos {30^0} = 16\ Rightarrow SB = 4 = SCend{array})

Xét tam giác vuông (SBM) có (SM = sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = sqrt {{4^2} - {1^2}}  = sqrt {15} ).

Gọi (p) là nửa chu vi tam giác (SAM) ta có (p = dfrac{{SA + AM + SM}}{2} = dfrac{{4sqrt 3  + sqrt {15}  + sqrt {15} }}{2} = 2sqrt 3  + sqrt {15} ).

( Rightarrow {S_{Delta SAM}} = sqrt {pleft( {p - SA} right)left( {p - AM} right)left( {p - SM} right)}  = sqrt {36}  = 6).

Lại có ({S_{Delta SAM}} = dfrac{1}{2}SH.AM Rightarrow SH = dfrac{{2{S_{Delta SAM}}}}{{AM}} = dfrac{{2.6}}{{sqrt {15} }} = dfrac{{12}}{{sqrt {15} }}).

( Rightarrow {V_{S.ABC}} = dfrac{1}{3}SH.{S_{Delta ABC}} = dfrac{1}{3}.dfrac{{12}}{{sqrt {15} }}.sqrt {15}  = 4)   ( Rightarrow {V_{T.{G_1}{G_2}{G_3}}} = dfrac{4}{{27}}{V_{S.ABC}} = dfrac{4}{{27}}.4 = dfrac{{16}}{{27}}).

( Rightarrow a = 16;,,b = 27). Vậy (P = 2a - b = 2.16 - 27 = 5).

Chọn C.

Ý kiến của bạn