Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Gọi (G) là trọng tâm tam giác (SAB) và (M,N) lần lượt là trung điểm của (SC,SD). Biết thể tích khối chop (S.ABCD) là (V), tính thể tích khối chóp (S.GMN.)
Phương pháp giải:
- Tính tỉ lệ thể tích (dfrac{{{V_{S.GMN}}}}{{{V_{S.ECD}}}}) dựa vào công thức tỉ lệ thể tích Simpson.
- So sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao (S.ECD) và (S.ABCD), từ đó tính thể tích khối chóp (S.GMN).
Giải chi tiết:
Gọi (E) là trung điểm của (AB). Vì (G) là trọng tâm (Delta SAB) nên (dfrac{{SG}}{{SE}} = dfrac{2}{3}).
Ta có:
(begin{array}{l}dfrac{{{V_{S.GMN}}}}{{{V_{S.ECD}}}} = dfrac{{SG}}{{SE}}.dfrac{{SM}}{{SC}}.dfrac{{SN}}{{SD}} = dfrac{2}{3}.dfrac{1}{2}.dfrac{1}{2} = dfrac{1}{6}\ Rightarrow {V_{S.GMN}} = dfrac{1}{6}{V_{S.ECD}}end{array})
Ta có: (S.ECD) và (S.ABCD) là hai khối chóp có cùng chiều cao nên
(begin{array}{l}dfrac{{{V_{S.ECD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = dfrac{{{S_{ECD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = dfrac{{dfrac{1}{2}dleft( {E;CD} right).CD}}{{dleft( {E;CD} right).CD}} = dfrac{1}{2}\ Rightarrow {V_{S.ECD}} = dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}end{array})
( Rightarrow {V_{S.GMN}} = dfrac{1}{6}.dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = dfrac{V}{{12}}).
Chọn D.