Cho hình chóp tứ giác (S.ABCD) có (SA bot left( {ABCD} right)). (ABCD)là hình thang vuông tại A và B biết (AB = 2a,)(AD = 3BC = 3a). Tính thể tích khối chóp (S.ABCD) theo (a) biết góc giữa (left( {SCD} right)) và (left( {ABCD} right)) bằng ({60^0}.)
Phương pháp giải:
Dùng công thức tính diện tích hình thang và tam giác.
Dung hệ thức lượng trong tam giác.
Áp dụng công thức để tính thể tích.
Giải chi tiết:
+) Kẻ (CK bot AD Rightarrow CK = KD = 2a)
Mà (Delta CKD) vuông tại C nên (CD = 2sqrt 2 a.)
Kẻ (AH bot CD) mà (SA bot CDleft( {doSA bot left( {ABCD} right)} right))
( Rightarrow SH bot CD)
Nên góc giữa (left( {SCD} right);left( {ABCD} right)) là (angle SHA Rightarrow angle SHA = 60^circ )
Mặt khác ta có:
(begin{array}{*{20}{l}}{{S_{ABCD}} = {S_{ACD}} + {S_{ABC}}}\{ Leftrightarrow dfrac{{left( {BC + AD} right)AB}}{2} = dfrac{{AH.CD}}{2} + dfrac{{AB.BC}}{2}}\{ Leftrightarrow left( {a + 3a} right).2a = AH.2sqrt 2 a + 2a.a}\{ Leftrightarrow AH = dfrac{{3sqrt 2 }}{2}a}end{array})
+) (Delta SAH) vuông tại A có (angle SHA = 60^circ Rightarrow SA = tan 60^circ .AH = frac{{3sqrt 6 }}{2}a)
+) ({V_{S.ABCD}} = dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = dfrac{1}{3}.dfrac{{3sqrt 6 }}{2}a.dfrac{{left( {a + 3a} right).2a}}{2} = 2sqrt 6 {a^3}.)
Chọn B.