Cho hình trụ có hay đáy là hai hình tròn O và O’ chiều

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Giả sử (left( alpha  right)) cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O’) theo giao tuyến là đường thẳng MN như hình vẽ, khi đó ta có (left( alpha  right) equiv left( {IMN} right)).

- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, định lí Pytago tính bán kính đáy của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy R là (V = pi {R^2}h).

Giải chi tiết:

Giả sử (left( alpha  right)) cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O’) theo giao tuyến là đường thẳng MN như hình vẽ, khi đó ta có (left( alpha  right) equiv left( {IMN} right)).

Gọi H là trung điểm của MN ta có (O'H bot MN) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong (left( {O'HI} right)) kẻ (O'K bot IH,,left( {K in IH} right)) ta có:

(left{ begin{array}{l}MN bot O'H\MN bot O'Iend{array} right. Rightarrow MN bot left( {O'HI} right)) ( Rightarrow MN bot O'K).

(left{ begin{array}{l}O'K bot MN\O'K bot IHend{array} right. Leftrightarrow O'K bot left( {IMN} right)).

( Rightarrow KI) là hình chiếu vuông góc của O’I lên (IMN)

( Rightarrow angle left( {OO';left( alpha  right)} right) = angle left( {O'I;IMN} right) = angle left( {O'I;KI} right) = angle O'KI = {30^0}).

Theo bài ra ta có (MN = dfrac{{2asqrt 6 }}{3} Rightarrow HN = dfrac{{asqrt 6 }}{3}), (OO' = 2a Rightarrow O'I = a).

Xét tam giác vuông O’HI có: (O'H = O'I.tan {30^0} = dfrac{{asqrt 3 }}{3}).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’HN có:

(O'N = sqrt {O'{H^2} + H{N^2}}  = sqrt {{{left( {dfrac{{asqrt 3 }}{3}} right)}^2} + {{left( {dfrac{{asqrt 6 }}{3}} right)}^2}}  = a = R)

Vạy thể tích khối trụ là (V = pi {R^2}h = pi .{a^2}.2a = 2pi {a^3}).

Chọn C.