Cho n in mathbbN chứng minh rằng n^2 + n + 1 không chia

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Phân tích ({n^2} + n + 1) thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp cộng 1.

Sử dụng tính chất của tích của hai số tự nhiên liên tiếp và dấu hiệu chia hết cho 4; 5 để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

Ta có: ({n^2} + n + 1 = nleft( {n + 1} right) + 1)

Vì (nleft( {n + 1} right)) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

( Rightarrow nleft( {n + 1} right) + 1) là một số lẻ nên không chia hết cho 4.

Vì (nleft( {n + 1} right)) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9

( Rightarrow nleft( {n + 1} right)) không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó (nleft( {n + 1} right) + 1) không chia hết cho 5.

Vậy ({n^2} + n + 1) không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.