Cho n là số tự nhiên n ≥ 2. Tính S

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

S = k² 2^k = 1². .2 + 2² .2² + … + n². .2ⁿ

= k(k - 1) 2^k + k 2^k

Xét khai triển (1 + x)ⁿ = x^k

- n(1 + x)^{n – 1} = k x^{k – 1} , lấy x = 2 ta được

n.3^{n – 1} = k 2^{k – 1} ⇔ 2n.3^{n – 1} = k 2^k

- n(n – 1)(1 + x)^{n – 2} = k(k – 1) x^{k – 2} , lấy x = 2 ta được

n(n – 1).3^{n – 2} = k(k – 1) x^{k – 2} ⇔ 4n(n – 1)3^{n – 2} =k(k – 1) 2^k

Vậy S = n.3^{n – 2} (2 + 4n)

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.