Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Cho parabol ( P ):y = x^2 + 1) và đường thẳn

Cho parabol ( P ):y = x^2 + 1) và đường thẳn

Câu hỏi và phương pháp giải

Nhận biết

Cho parabol (left( P right):y = {x^2} + 1) và đường thẳng (left( d right):y = mx + 2). Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.


Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 247

Cách giải nhanh bài tập này

Phương trình hoành độ giao điểm d và (P): ({x^2} + 1 = mx + 2 Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0,,left( 1 right))

Có:  (Delta  = {m^2} + 4 > 0 Rightarrow ) Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.

Giả sử A, B lần lượt  có hoành độ là a, b nên A(a; ma+2) và B(b; mb+2) (a < b)

Mọi m đường thẳng d luôn đi qua điểm (0; 2) và yCT = 1 nên (mx + 2 ge {x^2} + 1,,forall x in left( {a;b} right))

Do đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P).

(eqalign{  & S = int_a^b {left( {mx + 2 - {x^2} - 1} right)dx = int_a^b {left( {mx - {x^2} + 1} right)dx = left. {left( {{{m{x^2}} over 2} - {{{x^3}} over 3} + x} right)} right|_a^b} }   cr   & ,,,, = left( {b - a} right)left[ {{m over 2}left( {a + b} right) + 1 - {1 over 3}left( {{a^2} + {b^2} + ab} right)} right]  cr   & ,,,, = left( {b - a} right)left[ {{m over 2}left( {b + a} right) + 1 - {1 over 3}{{left( {a + b} right)}^2} + {1 over 3}ab} right]  cr   &  Rightarrow {S^2} = {left( {b - a} right)^2}{left[ {{m over 2}left( {b + a} right) + 1 - {1 over 3}{{left( {a + b} right)}^2} + {1 over 3}ab} right]^2}  cr   & ,,,,,,,,,,,, = left[ {{{left( {a + b} right)}^2} - 4ab} right]{left[ {{m over 2}left( {b + a} right) + 1 - {1 over 3}{{left( {a + b} right)}^2} + {1 over 3}ab} right]^2}. cr} )

Vì a, b là nghiêm của pt(1) nên theo định lí Vi-et ta có: (left{ matrix{  a + b = m hfill cr   ab =  - 1 hfill cr}  right.)

Suy ra ({S^2} = {left( {{m^2} + 4} right)^2}{left( {{{{m^2}} over 6} + {2 over 3}} right)^2} ge 4.{4 over 9} = {{16} over 9} Rightarrow S ge sqrt {{{16} over 9}}  = {4 over 3}.)

Dấu “=” xảy ra khi m = 0.

Chọn B.

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.

Ý kiến của bạn