Cho phương trình sin 2x - cos 2x + | sin x + cos x | -

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Xét hàm đặc trưng.

- Phương trình (asin x + bcos x = c) có nghiệm ( Leftrightarrow {a^2} + {b^2} ge {c^2}).

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,,,sin 2x - cos 2x + left| {sin x + cos x} right| - sqrt {2{{cos }^2}x + m}  - m = 0\ Leftrightarrow sin 2x + 1 + left| {sin x + cos x} right| = cos 2x + 1 + sqrt {2{{cos }^2}x + m}  + m\ Leftrightarrow 2sin xcos x + {sin ^2}x + {cos ^2}x + left| {sin x + cos x} right| = 2{cos ^2}x + m + sqrt {2{{cos }^2}x + m} \ Leftrightarrow {left( {sin x + cos x} right)^2} + left| {sin x + cos x} right| = 2{cos ^2}x + m + sqrt {2{{cos }^2}x + m} ,,left( * right)end{array})

Xét hàm đặc trưng (fleft( t right) = {t^2} + t) với (t ge 0) ta có (f'left( t right) = 2t + 1 > 0,,forall t ge 0), do đó hàm số đồng biến trên (left[ {0; + infty } right))

Từ (left( * right) Rightarrow left| {sin x + cos x} right| = sqrt {2{{cos }^2}x + m} ).

(begin{array}{l} Leftrightarrow 1 + sin 2x = 2{cos ^2}x + m\ Leftrightarrow sin 2x + 1 - 2{cos ^2}x = m\ Leftrightarrow sin 2x - cos 2x = m,,left( {**} right)end{array})

Phương trình (**) có nghiệm khi và chỉ khi ({1^2} + {1^2} ge {m^2} Leftrightarrow  - sqrt 2  le m le sqrt 2 ).

Mà (m in mathbb{Z} Rightarrow m in left{ { - 1;0;1} right}). Vậy có 3 giá trị của (m) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.