Cho tam giác ABC thỏa mãn cos Acos Bcos C = d18 thì Tam

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức (cos acos b = dfrac{1}{2}left[ {cos left( {a + b} right) + cos left( {a - b} right)} right]) .

- Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức, đánh giá.

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,cos Acos Bcos C = dfrac{1}{8}\ Leftrightarrow dfrac{1}{2}cos C.left[ {cos left( {A + B} right) + cos left( {A - B} right)} right] = dfrac{1}{8}\ Leftrightarrow cos C.left[ {cos left( {pi  - C} right) + cos left( {A - B} right)} right] = dfrac{1}{4}\ Leftrightarrow cos C.left[ { - cos C + cos left( {A - B} right)} right] = dfrac{1}{4}\ Leftrightarrow {cos ^2}C - cos C.cos left( {A - B} right) =  - dfrac{1}{4}\ Leftrightarrow {cos ^2}C - 2cos C.dfrac{1}{2}cos left( {A - B} right) + dfrac{1}{4}{cos ^2}left( {A - B} right) - dfrac{1}{4}{cos ^2}left( {A - B} right) =  - dfrac{1}{4}\ Leftrightarrow {left[ {cos C - dfrac{1}{2}cos left( {A - B} right)} right]^2} - dfrac{1}{4}{cos ^2}left( {A - B} right) =  - dfrac{1}{4}end{array})

Ta có:

 (begin{array}{l}{left[ {cos C - dfrac{1}{2}cos left( {A - B} right)} right]^2} ge 0\0 le {cos ^2}left( {A - B} right) le 1 Leftrightarrow 0 ge  - dfrac{1}{4}{cos ^2}left( {A - B} right) ge  - dfrac{1}{4}\ Rightarrow {left[ {cos C - dfrac{1}{2}cos left( {A - B} right)} right]^2} - dfrac{1}{4}{cos ^2}left( {A - B} right) ge  - dfrac{1}{4}end{array})

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos C = dfrac{1}{2}cos left( {A - B} right)\cos left( {A - B} right) = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}A = B\cos C = dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}A = B\C = {60^0}end{array} right.).

Vậy tam giác (ABC) là tam giác đều.

Chọn C.