Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BC

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

1. Phân tích (overrightarrow {AM} ) theo hai véc tơ (overrightarrow {AB} ,,,overrightarrow {AC} ) bằng quy tắc ba điểm

2a. Phân tích (overrightarrow {AI} ) theo hai véc tơ (overrightarrow {AB} ,,,overrightarrow {AC} ) dựa vào giả thiết

2b. 3 điểm (A,M,I) thẳng hàng ( Leftrightarrow exists k:overrightarrow {AM}  = koverrightarrow {AI} ,,,left( {k ne 0} right).)

Giải chi tiết:

1. Hãy tính véc tơ (overrightarrow {AM} ) theo hai véc tơ (overrightarrow {AB} ,,,overrightarrow {AC} )

Ta có:

(begin{array}{l}overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB}  + overrightarrow {BM}  = overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{3}overrightarrow {BC} \,,,,,,,,,,,, = overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{3}left( {overrightarrow {AC}  - overrightarrow {AB} } right)\,,,,,,,,,,,,, = dfrac{2}{3}overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{3}overrightarrow {AC} end{array})

2. Giả sử có điểm (I) thỏa mãn: (overrightarrow {IA}  - 2overrightarrow {IB}  - overrightarrow {IC}  = overrightarrow 0 )

a) Tìm các số thực (x,y) sao cho: (overrightarrow {AI}  = xoverrightarrow {AB}  + yoverrightarrow {AC} )

(begin{array}{l},,,,,,,,overrightarrow {IA}  - 2overrightarrow {IB}  - overrightarrow {IC}  = overrightarrow 0 \ Leftrightarrow overrightarrow {AI}  = 2overrightarrow {BI}  + overrightarrow {CI} \ Leftrightarrow overrightarrow {AI}  = 2left( {overrightarrow {AI}  - overrightarrow {AB} } right) + left( {overrightarrow {AI}  - overrightarrow {AC} } right)\ Leftrightarrow overrightarrow {AI}  = 3overrightarrow {AI}  - 2overrightarrow {AB}  - overrightarrow {AC} \ Leftrightarrow  - 2overrightarrow {AI}  =  - 2overrightarrow {AB}  - overrightarrow {AC} \ Leftrightarrow overrightarrow {AI}  = overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{2}overrightarrow {AC} end{array})

Vậy (x = 1,,,y = dfrac{1}{2}.)

b) Chứng minh ba điểm (A,M,I) thẳng hàng.     

Ta có: (left{ begin{array}{l}overrightarrow {AM}  = dfrac{2}{3}overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{3}overrightarrow {AC} \overrightarrow {AI}  = overrightarrow {AB}  + dfrac{1}{2}overrightarrow {AC} end{array} right. Leftrightarrow overrightarrow {AM}  = dfrac{2}{3}overrightarrow {AI} )

Suy ra, (overrightarrow {AM} ;overrightarrow {AI} ) cùng phương ( Rightarrow A,M,I) thẳng hàng. (đpcm)