Cho tứ diện ABCD có ABC ABD ACD là các tam giác vuông t

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh (DH bot left( {ABCD} right)).

- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).

- Chứng minh ABHC là hình vuông.

- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.

- Tính ({S_{ABHC}} Rightarrow {S_{ABC}}) , từ đó tính thể tích ({V_{ABCD}} = dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}}).

Giải chi tiết:

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}AB bot BD\AB bot BHend{array} right. Rightarrow AB bot left( {BDH} right) Rightarrow AB bot DH\left{ begin{array}{l}AC bot CH\AC bot CDend{array} right. Rightarrow AC bot left( {CDH} right) Rightarrow AC bot DH\ Rightarrow DH bot left( {ABCD} right)end{array})

( Rightarrow ) AH là hình chiếu của AD lên (ABC) ( Rightarrow angle left( {AD;left( {ABC} right)} right) = angle left( {AD;AH} right) = angle DAH = {45^0}).

Ta có: (left{ begin{array}{l}BC bot DH,,left( {DH bot left( {ABCD} right)} right)\BC bot AD,,left( {gt} right)end{array} right. Rightarrow BC bot left( {ADH} right) Rightarrow BC bot AH).

( Rightarrow ABHC) là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi (O = AH cap BC), trong (ADH) kẻ (OK bot AD,,left( {K in AD} right)) ta có:

(left{ begin{array}{l}OK bot AD\OK bot BC,,left( {BC bot left( {ADH} right)} right)end{array} right. Rightarrow dleft( {AD;BC} right) = OK = a).

Xét tam giác OKA vuông tại K có (angle OAK = {45^0}) nên tam giác OAK vuông cân tại K ( Rightarrow OA = OKsqrt 2  = asqrt 2 ).

( Rightarrow AH = 2OA = 2sqrt 2 a).

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên (HD = AH = 2sqrt 2 a).

Ta có: ({S_{ABHC}} = dfrac{1}{2}A{H^2} = dfrac{1}{2}left( {2sqrt 2 {a^2}} right) = 4{a^2}) ( Rightarrow {S_{ABC}} = 2{a^2}).

Vậy ({V_{ABCD}} = dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}} = dfrac{1}{3}.2sqrt 2 a.2{a^2} = dfrac{{4sqrt 2 {a^3}}}{3}).

Chọn D.