Chứng minh rằng phương trình x - a x - b + x - b x

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Nhân khai triển, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai.

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm bằng điều kiện (Delta  ge 0).

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,left( {x - a} right)left( {x - b} right) + left( {x - b} right)left( {x - c} right) + left( {x - c} right)left( {x - a} right) = 0\ Leftrightarrow 3{x^2} - 2left( {a + b + c} right)x + left( {ab + bc + ca} right) = 0end{array})

Khi đó ta có:

(begin{array}{l}Delta  = {left( {a + b + c} right)^2} - 3left( {ab + bc + ca} right)\,,,,, = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\,,,,, = dfrac{1}{2}left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} right)\,,,,, = dfrac{1}{2}left[ {left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} right) + left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} right) + left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} right)} right]\,,,,, = dfrac{1}{2}left[ {{{left( {a - b} right)}^2} + {{left( {b - c} right)}^2} + {{left( {c - a} right)}^2}} right] ge 0,,,forall a,,,b,,,c.end{array})

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của (a,,,b,,,c).