Giả sử ab là các số thực sao cho x^3 + y^3 = a10^3z + b

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Từ giả thiết tìm (x + y,,,{x^2} + {y^2}) theo (z).

- Tìm (xy = dfrac{1}{2}left[ {{{left( {x + y} right)}^2} - left( {{x^2} + {y^2}} right)} right]).

- Sử dụng hằng đẳng thức ({x^3} + {y^3} = left( {x + y} right)left( {{x^2} + {y^2} - xy} right)), thay VP theo (z).

- Đồng nhất hệ số tìm (a,,,b) và tính (a + b).

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

(left{ begin{array}{l}log left( {x + y} right) = z\log left( {{x^2} + {y^2}} right) = z + 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = {10^z}\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{left( {x + y} right)^2} = {10^{2z}}\{x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}}end{array} right.)

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:

(begin{array}{l}{left( {x + y} right)^2} - left( {{x^2} + {y^2}} right) = {10^{2z}} - {10^{z + 1}}\ Leftrightarrow 2xy = {10^{2z}} - {10^{z + 1}} Leftrightarrow xy = dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}end{array})

Ta có:

(begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = left( {x + y} right)left( {{x^2} + {y^2} - xy} right)\,,,,,,,,,,,,,,,, = {10^z}left( {{{10}^{z + 1}} - dfrac{{{{10}^{2z}} - {{10}^{z + 1}}}}{2}} right)\,,,,,,,,,,,,,,,, = {10^z}left( {dfrac{3}{2}{{10}^{z + 1}} - dfrac{1}{2}{{10}^{2z}}} right)\,,,,,,,,,,,,,,,, = dfrac{3}{2}{10^{2z + 1}} - dfrac{1}{2}{10^{3z}}\,,,,,,,,,,,,,,,, =  - dfrac{1}{2}{10^{3z}} + {15.10^{2z}}\ Rightarrow a =  - dfrac{1}{2};,,b = 15end{array})

Vậy (a + b =  - dfrac{1}{2} + 15 = dfrac{{29}}{2}).

Chọn B.