Giải phương trình (8cos 2x{cos ^2}x + sqrt {1 - cos 3x} + 1 = 0).
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa phương trình về dạng ({A^2} + sqrt B = 0 Leftrightarrow A = B = 0).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản.
Giải chi tiết:
Vì ( - 1 le cos 3x le 1,,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow 1 - cos 3x ge 0,,forall x in mathbb{R}).
( Rightarrow ) TXĐ: (D = mathbb{R}).
Ta có:
(begin{array}{l},,,,,,8cos 2x{cos ^2}x + sqrt {1 - cos 3x} + 1 = 0\ Leftrightarrow 4cos 2xleft( {1 + cos 2x} right) + sqrt {1 - cos 3x} + 1 = 0\ Leftrightarrow 4{cos ^2}2x + 4cos 2x + 1 + sqrt {1 - cos 3x} = 0\ Leftrightarrow {left( {2cos 2x + 1} right)^2} + sqrt {1 - cos 3x} = 0end{array})
Do (left{ begin{array}{l}{left( {2cos 2x + 1} right)^2} ge 0\sqrt {1 - cos 3x} ge 0end{array} right. Rightarrow {left( {2cos 2x + 1} right)^2} + sqrt {1 - cos 3x} ge 0).
Dấu “=” xảy ra
(begin{array}{l} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2cos 2x + 1 = 0\1 - cos 3x = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos 2x = - dfrac{1}{2}\cos 3x = 1end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x = pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi \3x = k2pi end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = pm dfrac{pi }{3} + kpi \x = dfrac{{k2pi }}{3}end{array} right.end{array})
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác:
Ta thấy có hai họ nghiệm chung, là (x = pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ).
Vậy nghiệm của phương trình là (x = pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ).
Chọn A.