Giải phương trình 8cos 2xcos ^2x + 1 - cos 3x  + 1 = 0

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đưa phương trình về dạng ({A^2} + sqrt B  = 0 Leftrightarrow A = B = 0).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Vì ( - 1 le cos 3x le 1,,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow 1 - cos 3x ge 0,,forall x in mathbb{R}).

( Rightarrow ) TXĐ: (D = mathbb{R}).

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,8cos 2x{cos ^2}x + sqrt {1 - cos 3x}  + 1 = 0\ Leftrightarrow 4cos 2xleft( {1 + cos 2x} right) + sqrt {1 - cos 3x}  + 1 = 0\ Leftrightarrow 4{cos ^2}2x + 4cos 2x + 1 + sqrt {1 - cos 3x}  = 0\ Leftrightarrow {left( {2cos 2x + 1} right)^2} + sqrt {1 - cos 3x}  = 0end{array})

Do (left{ begin{array}{l}{left( {2cos 2x + 1} right)^2} ge 0\sqrt {1 - cos 3x}  ge 0end{array} right. Rightarrow {left( {2cos 2x + 1} right)^2} + sqrt {1 - cos 3x}  ge 0).

Dấu “=” xảy ra

(begin{array}{l} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2cos 2x + 1 = 0\1 - cos 3x = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}cos 2x =  - dfrac{1}{2}\cos 3x = 1end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x =  pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi \3x = k2pi end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x =  pm dfrac{pi }{3} + kpi \x = dfrac{{k2pi }}{3}end{array} right.end{array})

Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Ta thấy có hai họ nghiệm chung, là (x =  pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ).

Vậy nghiệm của phương trình là (x =  pm dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ).

Chọn A.