Giải phương trình cos 2x - 3 sin 2x - 3 sin x - cos x

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Chia cả 2 vế cho 2, nhóm hạng tử thích hợp, sử dụng các công thức (sin acos b pm cos xsin b = sin left( {a pm b} right)).

- Đưa phương trình về dạng (sin A - sin B =  - 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sin A =  - 1\sin B = 1end{array} right.).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, biểu diễn và hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,cos 2x - sqrt 3 sin 2x - sqrt 3 sin x - cos x + 4 = 0\ Leftrightarrow dfrac{1}{2}cos 2x - dfrac{{sqrt 3 }}{2}sin 2x - dfrac{{sqrt 3 }}{2}sin x - dfrac{1}{2}cos x + 2 = 0\ Leftrightarrow left( {dfrac{1}{2}cos 2x - dfrac{{sqrt 3 }}{2}sin 2x} right) - left( {dfrac{{sqrt 3 }}{2}sin x + dfrac{1}{2}cos x} right) + 2 = 0\ Leftrightarrow left( {sin dfrac{pi }{6}cos 2x - cos dfrac{pi }{6}sin 2x} right) - left( {sin xcos dfrac{pi }{6} + cos xsin dfrac{pi }{6}} right) + 2 = 0\ Leftrightarrow sin left( {dfrac{pi }{6} - 2x} right) - sin left( {x - dfrac{pi }{6}} right) =  - 2,,,left( * right)end{array})

Với mọi (x in mathbb{R}) ta có:

(left{ begin{array}{l} - 1 le sin left( {dfrac{pi }{6} - 2x} right) le 1\ - 1 le  - sin left( {x - dfrac{pi }{6}} right) le 1end{array} right. Rightarrow  - 2 le sin left( {dfrac{pi }{6} - 2x} right) - sin left( {x - dfrac{pi }{6}} right) le 2).

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sin left( {dfrac{pi }{6} - 2x} right) =  - 1\sin left( {x - dfrac{pi }{6}} right) = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{pi }{6} - 2x =  - dfrac{pi }{2} + k2pi \x - dfrac{pi }{6} = dfrac{pi }{2} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{3} + kpi \x = dfrac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.).

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta thấy hai họ nghiệm trên không có điểm chung.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.