Giải phương trình cos 4x - cos 2x ^2 = 5 + sin 3x dpi

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức (cos a - cos b =  - 2sin dfrac{{a + b}}{2}sin dfrac{{a - b}}{2}).

- Nhận xét và đánh giá (VT le 4 le VP). Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,{left( {cos 4x - cos 2x} right)^2} = 5 + sin 3x\ Leftrightarrow {left[ { - 2sin 3xsin x} right]^2} = 5 + sin 3x\ Leftrightarrow 4{sin ^2}3x{sin ^2}x = 5 + sin 3xend{array})

Ta có: (left{ begin{array}{l}0 le {sin ^2}3x le 1\0 le {sin ^2}x le 1end{array} right. Rightarrow 4{sin ^2}3x{sin ^2}x le 4).

            ( - 1 le sin 3x le 1 Leftrightarrow 4 le 5 + sin 3x le 6).

Do đó (VT le 4 le VP).

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{sin ^2}3x = 1\{sin ^2}x = 1\sin 3x =  - 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}sin 3x =  - 1\cos x = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x =  - dfrac{pi }{6} + dfrac{{k2pi }}{3}\x = dfrac{pi }{2} + kpi end{array} right.)

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Ta thấy hai họ nghiệm trên chỉ có 1 điểm chung là (x = dfrac{pi }{2} + k2pi ).

Vậy nghiệm của phương trình là (x = dfrac{pi }{2} + k2pi ).

Chọn A.