Giải phương trình sin ^4x + cos ^15x = 1 - dpi 2 + k2p

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất: ({sin ^2}x + {cos ^2}x = 1).

- Nhóm hạng tử, đưa sin về cùng vế, cos về cùng vế.

- Đánh giá và nhận xét một vế luôn không âm, một vế luôn không dương. Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,,{sin ^4}x + {cos ^{15}}x = 1\ Leftrightarrow {sin ^4}x + {cos ^{15}}x = {sin ^2}x + {cos ^2}x\ Leftrightarrow {sin ^2}xleft( {{{sin }^2}x - 1} right) = {cos ^2}xleft( {1 - {{cos }^{13}}x} right)end{array})

Ta có:

(begin{array}{l}0 le {sin ^2}x le 1 Rightarrow {sin ^2}x - 1 le 0\ Leftrightarrow {sin ^2}xleft( {{{sin }^2}x - 1} right) le 0,,forall xend{array})

Lại có:

(begin{array}{l} - 1 le cos x le 1 Leftrightarrow  - 1 le {cos ^{13}}x le 1\ Leftrightarrow 1 - {cos ^{13}}x ge 0\ Rightarrow {cos ^2}xleft( {1 - {{cos }^{13}}x} right) ge 0,,forall xend{array})

(VT le 0,,,VP ge 0 Rightarrow ) Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}sin x = 0\sin x =  pm 1end{array} right.\left[ begin{array}{l}cos x = 0\cos x = 1end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x = kpi \x = dfrac{pi }{2} + kpi end{array} right.\left[ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{2} + kpi \x = k2pi end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{pi }{2} + kpi \x = k2pi end{array} right.).

Chọn C.