Gọi (a) là số thực lớn nhất để bất phương trình ({x^2} - x + 2 + aln left( {{x^2} - x + 1} right) ge 0) nghiệm đúng với mọi (x in mathbb{R}). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương pháp giải:
- Đặt (t = {x^2} - x + 1 ge dfrac{3}{4}), đưa phương trình về dạng ẩn (t).
- Chứng minh (a = 0) thỏa mãn bất phương trình.
- Tìm các số thực (a > 0) thỏa mãn BPT. Đưa bpt về dạng (fleft( t right) ge 0,,forall t ge dfrac{3}{4} Leftrightarrow mathop {min }limits_{left[ {dfrac{3}{4}; + infty } right)} fleft( t right) ge 0).
- Lập BBT hàm số (fleft( t right)) và kết luận.
Giải chi tiết:
Đặt (t = {x^2} - x + 1 = {left( {x - dfrac{1}{2}} right)^2} + dfrac{3}{4} ge dfrac{3}{4}), bất phương trình trở thành (t + 1 + aln t ge 0,,forall t ge dfrac{3}{4},,left( * right)).
Với (a = 0) ta có (1 ge 0,,forall t ge dfrac{3}{4}) (luôn đúng), do đó (a = 0) thỏa mãn.
Theo bài ra ta có (a) là số thực dương lớn nhất, mà (a = 0) thỏa mãn nên ta cần tìm những số thực (a > 0) thỏa mãn (*).
Đặt (fleft( t right) = t + 1 + aln t,,,t ge dfrac{3}{4}) ta có (f'left( t right) = 1 + dfrac{a}{t} > 0,,forall a > 0,,,t ge dfrac{3}{4}).
BBT:
Ta có (fleft( t right) ge 0,,forall t ge dfrac{3}{4} Leftrightarrow mathop {min }limits_{left[ {dfrac{3}{4}; + infty } right)} fleft( t right) ge 0) ( Leftrightarrow dfrac{7}{4} + aln dfrac{3}{4} ge 0 Leftrightarrow a le 6,08 Rightarrow a in left( {6;7} right]).
Chọn A.