Gọi N là trung điểm của BO I là giao điểm của AMN với

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

Chọn (SD subset left( alpha  right)), tìm giao tuyến (d = left( {AMN} right) cap left( alpha  right)). Khi đó (left( {AMN} right) cap SA = left( {AMN} right) cap d).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác (SOD) để tính tỉ số (frac{{SI}}{{ID}}).

Giải chi tiết:

Chọn (SD subset left( {SBD} right)).

Xét (left( {AMN} right)) và (left( {SBD} right)) có:

+ (left{ begin{array}{l}N in left( {AMN} right)\N in BD subset left( {SBD} right) Rightarrow N in left( {SBD} right)end{array} right.) ( Rightarrow M) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong (left( {SAC} right)) gọi (P = AM cap SO), ta có: (left{ begin{array}{l}P in AM subset left( {AMN} right)\P in SO subset left( {SBD} right)end{array} right. Rightarrow P in left( {AMN} right) cap left( {SBD} right)).

Khi đó ta có (left( {AMN} right) cap left( {SBD} right) = NP).

Trong (left( {SBD} right)) gọi (I = NP cap SD) ta có: (left{ begin{array}{l}I in SD\I in NP subset left( {AMN} right)end{array} right. Rightarrow I = SD cap left( {AMN} right)).

Xét (Delta SAC) ta có:  là các đường trung tuyến, (SO cap AM = P).

Suy ra (P) là trọng tâm tam giác (SAC) ( Rightarrow frac{{PS}}{{PO}} = 2).

Ta có: (N) là trung điểm của (BO,,left( {gt} right)) ( Rightarrow frac{{NO}}{{BO}} = frac{1}{2} Rightarrow frac{{NO}}{{OD}} = frac{1}{2} Rightarrow frac{{NO}}{{NO + OD}} = frac{1}{{1 + 2}} Rightarrow frac{{NO}}{{ND}} = frac{1}{3}).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác (SOD) ta có:

(frac{{PS}}{{PO}}.frac{{NO}}{{ND}}.frac{{ID}}{{IS}} = 1 Leftrightarrow frac{{ID}}{{IS}}.2.frac{1}{3} = 1 Leftrightarrow frac{{ID}}{{IS}} = frac{3}{2}).

Vậy (frac{{SI}}{{ID}} = frac{2}{3}).