Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m

Lời giải của Luyện Tập 247

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của (m) để đường thẳng (y = m) cắt đồ thị (y = {x^3} - 3{x^2}) tại 3 điểm phân biệt.

- Gọi (Aleft( {a;m} right);,,Bleft( {b;m} right);,,Cleft( {c;m} right),,left( {a < b < c} right)) là giao điểm của đồ thị hàm số (y = {x^3} - 3{x^2}) và đường thẳng (y = m). Sử dụng giả thiết và định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba, lập hệ và giải hệ tìm (a,,,b,,,c).

- Với mỗi cặp (a,,,b,,,c) tìm được, tìm (m) tương ứng và tính tổng các giá trị (m) tìm được.

Giải chi tiết:

Xét hàm số (y = {x^3} - 3{x^2}) ta có (y' = 3{x^2} - 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = 2end{array} right.).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, để đường thẳng (y = m) cắt đồ thị (y = {x^3} - 3{x^2}) tại 3 điểm phân biệt thì ( - 4 < m < 0).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ({x^3} - 3{x^2} = m Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - m = 0,,left( * right)).

Khi đó gọi (Aleft( {a;m} right);,,Bleft( {b;m} right);,,Cleft( {c;m} right),,left( {a < b < c} right)) là giao điểm của đồ thị hàm số (y = {x^3} - 3{x^2}) và đường thẳng (y = m) thì ta có (left{ begin{array}{l}AB = b - a\BC = c - aend{array} right.).

Theo bài ra ta có: (AB = 2BC Leftrightarrow b - a = 2left( {c - b} right) Leftrightarrow a - 3b + 2c = 0).

Lại có (a,,,b,,,c) là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: (left{ begin{array}{l}a + b + c = 3\abc = m\ab + bc + ca = 0end{array} right.).

Giải hệ (left{ begin{array}{l}a - 3b + 2c = 0\a + b + c = 3\ab + bc + ca = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {a;b;c} right) = left( {1 - dfrac{5}{{sqrt 7 }};1 + dfrac{1}{{sqrt 7 }};1 + dfrac{4}{{sqrt 7 }}} right)\left( {a;b;c} right) = left( {1 + dfrac{5}{{sqrt 7 }};1 - dfrac{1}{{sqrt 7 }};1 - dfrac{4}{{sqrt 7 }}} right)end{array} right.) ( Rightarrow left[ begin{array}{l}m =  - dfrac{{98 + 20sqrt 7 }}{{49}}\m =  - dfrac{{98 - 20sqrt 7 }}{{49}}end{array} right. Rightarrow sum m  =  - 4) 

Chọn D.