Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Ta có (SO bot left( {ABC} right)). Gọi (D) là trung điểm của (AB).

Kẻ (OI bot SD), ta có:

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}AB bot CD\AB bot SOend{array} right. Rightarrow AB bot left( {SCD} right) Rightarrow AB bot OI\left{ begin{array}{l}OI bot AB\OI bot SDend{array} right. Rightarrow OI bot left( {SAB} right)end{array})

Suy ra (I) là tâm đường tròn (left( C right)) giao tuyến của mặt cầu tâm (O) với mặt phẳng (left( {SAB} right)).

Gọi (M,,,N) lần lượt là giao điểm của (left( C right)) với (SB,,,SA) và (K) là trung điểm của (MB).

Đặt (AB = a). Theo bài ra ta có (OC = 1 Rightarrow dfrac{{asqrt 3 }}{3} = 1 Leftrightarrow a = sqrt 3 ).

Ta có: (SC = CD = dfrac{3}{2};,,OD = dfrac{1}{2}).

Áp dụng định lí Pytago ta có: (SO = sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = sqrt 2 ).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (SOD) ta có: (OI = dfrac{{SO.OD}}{{SD}} = dfrac{{sqrt 2 }}{3}); (ID = dfrac{{O{D^2}}}{{SD}} = dfrac{1}{3}); (SI = dfrac{4}{3}).

Gọi (r) là bán kính đường tròn (left( C right)), ta có (r = sqrt {1 - O{I^2}}  = dfrac{{sqrt 7 }}{3}).

 Xét tam giác vuông(SIK) ta có: (IK = SI.sin {30^0} = dfrac{1}{2}SI = dfrac{2}{3}).

Xét tam giác (MIK) có: (cos angle MIK = dfrac{{IK}}{{IM}} = dfrac{2}{{sqrt 7 }} Rightarrow angle MIK approx {28^0} Rightarrow angle MIN approx {64^0}).

Khi đó chiều dài cung (MN) là: ({l_{MN}} = dfrac{{64}}{{100}}.dfrac{{sqrt 7 }}{3} = dfrac{{16sqrt 7 }}{{135}}).

Vậy tổng chiều dài các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là (l = dfrac{{16sqrt 7 }}{{135}}.3 approx 0,94 in left( {dfrac{{sqrt 3 }}{2};1} right))

Chọn D.