Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (A = dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{2}{{xy}} + 4xy) với (x > 0;y > 0;x + y le 1).
Giải chi tiết:
(A = dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{2}{{xy}} + 4xy = left( {dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{1}{{2xy}}} right) + dfrac{5}{{4xy}} + left( {dfrac{1}{{4xy}} + 4xy} right))
Áp dụng bất đẳng thức (dfrac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab} ) với (a,,,,b > 0)
Với (x > 0;y > 0;x + y le 1), ta có:
(dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{1}{{2xy}} ge dfrac{2}{{sqrt {left( {{x^2} + {y^2}} right).2xy} }} ge 2.dfrac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = dfrac{4}{{{{left( {x + y} right)}^2}}} ge dfrac{4}{{{1^2}}} = 4,,,,left( {do,,,x + y le 1} right).)
(begin{array}{l}dfrac{5}{{4xy}} ge dfrac{5}{{{{left( {x + y} right)}^2}}} ge 5,,,left( {do,,,x + y le 1} right)\dfrac{1}{{4xy}} + 4xy ge 2sqrt {dfrac{1}{{4xy}}.4xy} = 2\ Rightarrow A ge 4 + 5 + 2 = 11.end{array})
Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = y\x + y = 1end{array} right. Rightarrow x = y = dfrac{1}{2})
Vậy GTNN của (A) là (11) khi và chỉ khi (x = y = dfrac{1}{2}).
Chọn C.