Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = d1x^2 + y^2 + d2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = d1x^2 + y^2 + d2

Câu hỏi và phương pháp giải

Nhận biết

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (A = dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{2}{{xy}} + 4xy) với (x > 0;y > 0;x + y le 1).


Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

(A = dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{2}{{xy}} + 4xy = left( {dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{1}{{2xy}}} right) + dfrac{5}{{4xy}} + left( {dfrac{1}{{4xy}} + 4xy} right))

Áp dụng bất đẳng thức (dfrac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab} ) với  (a,,,,b > 0)

Với  (x > 0;y > 0;x + y le 1), ta có:

 (dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + dfrac{1}{{2xy}} ge dfrac{2}{{sqrt {left( {{x^2} + {y^2}} right).2xy} }} ge 2.dfrac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = dfrac{4}{{{{left( {x + y} right)}^2}}} ge dfrac{4}{{{1^2}}} = 4,,,,left( {do,,,x + y le 1} right).)

(begin{array}{l}dfrac{5}{{4xy}} ge dfrac{5}{{{{left( {x + y} right)}^2}}} ge 5,,,left( {do,,,x + y le 1} right)\dfrac{1}{{4xy}} + 4xy ge 2sqrt {dfrac{1}{{4xy}}.4xy}  = 2\ Rightarrow A ge 4 + 5 + 2 = 11.end{array})

 Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = y\x + y = 1end{array} right. Rightarrow x = y = dfrac{1}{2})

Vậy GTNN của (A)  là (11)  khi và chỉ khi (x = y = dfrac{1}{2}).

Chọn C.

Ý kiến của bạn