Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau: căn 3 + x + căn 6 - x - căn (3 + x)(6

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

(sqrt {3 + x} + sqrt {6 - x} - sqrt {(3 + x)(6 - x)} le m,,,,left( * right))

Điều kiện: ( - 3 le x le 6.)

Đặt (sqrt {3 + x} + sqrt {6 - x} = a ge 0.)

(begin{array}{l} Rightarrow {a^2} = {left( {sqrt {3 + x} + sqrt {6 - x} } right)^2} = 9 + 2sqrt {left( {3 + x} right)left( {6 - x} right)} ge 9\ Rightarrow a ge 3.end{array})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm (sqrt {3 + x} ) và (sqrt {6 - x} ) ta có:

(2sqrt {left( {3 + x} right)left( {6 - x} right)} le 3 + x + 6 - x = 9)

( Rightarrow {a^2} le 9 + 9 = 18 Rightarrow a le 3sqrt 2 .)

Vậy (3 le a le 3sqrt 2 .)

Vì ({a^2} = 9 + 2sqrt {left( {3 + x} right)left( {6 - x} right)} Rightarrow sqrt {left( {3 + x} right)left( {6 - x} right)} = frac{{{a^2} - 9}}{2}.)

Bất phương trình trở thành: (a - frac{{{a^2} - 9}}{2} le m Leftrightarrow m ge frac{{ - {a^2} + 2a + 9}}{2}.)

Xét hàm số (fleft( a right) = - {a^2} + 2a + 9) với (3 le a le 3sqrt 2 .)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra (fleft( a right) le 6) với (3 le a le 3sqrt 2 .)

Vậy để (sqrt {3 + x} + sqrt {6 - x} - sqrt {(3 + x)(6 - x)} le m) đúng (forall x in left[ { - 3;6} right]) thì (m ge frac{{max fleft( a right)}}{2} Leftrightarrow m ge 3.)

Chọn B.

( * ) Xem thêm: Ôn tập toán 10 cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.