Tính thể tích (V) của khối tứ diện đều có cạnh bằng (2a).
Phương pháp giải:
- Gọi (G) là trọng tâm (Delta BCD Rightarrow SG bot left( {BCD} right)).
- Sử dụng tính chất tam giác đều, tính chất trọng tâm và định lí Pytago tính chiều cao (SG).
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp (V = dfrac{1}{3}Sh) với (S,,,h) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.
Giải chi tiết:
Gọi (M) là trung điểm của (CD), (G) là trọng tâm tam giác (BCD), ta có (AG bot left( {BCD} right)).
Vì (Delta BCD) đều cạnh (2a) nên diện tích đáy ({S_{Delta BCD}} = dfrac{{{{left( {2a} right)}^2}sqrt 3 }}{4} = {a^2}sqrt 3 ) và (BM = dfrac{{2asqrt 3 }}{2} = asqrt 3 )
( Rightarrow BG = dfrac{2}{3}BM = dfrac{{2asqrt 3 }}{3}).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông (ABM) ta có:
(AG = sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = sqrt {{{left( {2a} right)}^2} - {{left( {dfrac{{2asqrt 3 }}{3}} right)}^2}} = dfrac{{2asqrt 6 }}{3})
Vậy thể tích khối tứ diện là ({V_{ABCD}} = dfrac{1}{3}.AG.{S_{Delta BCD}} = dfrac{1}{3}.dfrac{{2asqrt 6 }}{3}.{a^2}sqrt 3 = dfrac{{2sqrt 2 }}{3}{a^3}).
Chọn C.