Tổng các nghiệm của phương trình (sin x + sqrt 3 cos x = 2) trên đoạn (left[ {0;4pi } right]) là:
Phương pháp giải:
- Chia cả 2 vế phương trình cho 2.
- Sử dụng công thức (sin acos b + sin bcos a = sin left( {a + b} right)).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản (sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi \x = pi - alpha + k2pi end{array} right.,,left( {k in mathbb{Z}} right)).
Giải chi tiết:
Ta có:
(begin{array}{l},,,,,,sin x + sqrt 3 cos x = 2\ Leftrightarrow dfrac{1}{2}sin x + dfrac{{sqrt 3 }}{2}cos x = 1\ Leftrightarrow sin xcos dfrac{pi }{3} + cos xsin dfrac{pi }{3} = 1\ Leftrightarrow sin left( {x + dfrac{pi }{3}} right) = 1\ Leftrightarrow x + dfrac{pi }{3} = dfrac{pi }{2} + k2pi \ Leftrightarrow x = dfrac{pi }{6} + k2pi ,,left( {k in mathbb{Z}} right)end{array})
Vì (x in left[ {0;4pi } right]) nên (0 le dfrac{pi }{6} + k2pi le 4pi Leftrightarrow - dfrac{1}{{12}} le k le dfrac{{23}}{{12}}).
Mà (k in mathbb{Z} Rightarrow k in left{ {0;1} right}).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x = dfrac{pi }{6}) và (x = dfrac{{13pi }}{6}), tổng của chúng là (dfrac{pi }{6} + dfrac{{13pi }}{6} = dfrac{{7pi }}{3}).
Chọn B.