Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5 hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhấ

Lời giải của Luyện Tập 247

Giải chi tiết:

Theo giả thiết

|z – 2 – 4i| = √5 |(x - 2) + (y - 4)i| = √5

(x – 2)² + (y – 4)² = 5 (C) (1)

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z => M ∈ (C)

Khi đó |z|= OM =

Cho cát tuyến OAB của (C) và tiếp tuyến OT.

Ta có:

OA.OB = OT² = const => OA = ;

OA nhỏ nhất OB lớn nhất OB đi qua tâm I của (C).

Do vậy |z| lớn nhất khi M ≡ B; |z| nhỏ nhất khi M ≡ A.

Gọi d là đường thẳng đi qua O; I có chọn vectơ pháp tuyến của (OI) là (2; -1), khi đó phương trình (OI): 2x - y = 0.

Giao điểm của OI và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi A(1;2) => => OA= √5; B(3; 6)

=> => OB = 3√5.

Vậy |z| lớn nhất bằng 3√5 z = 3 + 6i;

|z| nhỏ nhất bằng √5 z = 1+2i

( * ) Xem thêm: Ôn tập luyện thi thpt quốc gia môn toán cơ bản và nâng cao. Tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức, phương pháp giải và bài tập vận dụng.