Bài tập công thức lũy thừa, hàm số mũ logarit lớp 12 có đáp án chi tiết

Bài tập công thức lũy thừa, hàm số mũ logarit lớp 12 có đáp án (tính toán)

Công thức cần nhớ về hàm số mũ và logarit để giải toán

Cho hai số dương a; b và $m;\text{ }n\in \mathbb{R}$. Khi đó ta có các công thức sau.

@ Tính chất 1: ${{a}^{0}}=1\left( a\ne 0 \right)$ và ${{a}^{1}}=a$.

@ Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): $\left[ \begin{array}  {} a>1;{{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m>n \\  {} 0<a{{a}^{n}}\Leftrightarrow m<n \\ \end{array} \right.$.

@ Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với $a>b>0$ thì $\left[ \begin{array}  {} {{a}^{m}}>{{b}^{m}}\Leftrightarrow m>0 \\  {} {{a}^{m}}<b\Leftrightarrow m<0 \\ \end{array} \right.$.

Bài tập trắc nghiệm công thức về hàm số mũ – logarit có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $P=\sqrt{x.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}}}}=\sqrt{x.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{2}}}}}=\sqrt{x.\sqrt[3]{{{x}^{\frac{7}{2}}}}}=\sqrt{x.{{x}^{\frac{7}{6}}}}=\sqrt{{{x}^{\frac{13}{6}}}}={{x}^{\frac{13}{12}}}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{x}.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt{x}}={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.{{x}^{\frac{1}{2}}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{\frac{5}{2}}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{5}{6}}}={{x}^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}}={{x}^{\frac{4}{3}}}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $P=\sqrt{x.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[k]{{{x}^{3}}}}}={{x}^{\frac{23}{24}}}\Rightarrow x.\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[k]{{{x}^{3}}}}={{x}^{\frac{23}{12}}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[k]{{{x}^{3}}}}={{x}^{\frac{11}{12}}}$

${{x}^{2}}.\sqrt[k]{{{x}^{3}}}={{x}^{\frac{11}{4}}}\Leftrightarrow \sqrt[k]{{{x}^{3}}}={{x}^{\frac{11}{4}-2}}\Leftrightarrow {{x}^{\frac{3}{k}}}={{x}^{\frac{3}{4}}}\Leftrightarrow k=4$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $P=\frac{{{a}^{2+\sqrt{3}}}.{{\left( {{a}^{1-\sqrt{3}}} \right)}^{1+\sqrt{3}}}}{{{a}^{1+\sqrt{3}}}}=\frac{{{a}^{2+\sqrt{3}}}.{{a}^{\left( 1-\sqrt{3} \right)\left( 1+\sqrt{3} \right)}}}{{{a}^{1+\sqrt{3}}}}=\frac{{{a}^{2+\sqrt{3}}}.{{a}^{-2}}}{{{a}^{1+\sqrt{3}}}}=\frac{{{a}^{\sqrt{3}}}}{{{a}^{1+\sqrt{3}}}}=\frac{1}{a}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $x=\frac{a}{b}\Rightarrow \frac{b}{a}={{x}^{-1}}$. Khi đó $P=\sqrt[3]{x\sqrt[4]{{{x}^{-1}}\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{x\sqrt[4]{{{x}^{-1}}.{{x}^{\frac{1}{2}}}}}=\sqrt[3]{x\sqrt[4]{{{x}^{-\frac{1}{2}}}}}=\sqrt[3]{x.{{x}^{\frac{-1}{8}}}}=\sqrt[3]{{{x}^{\frac{7}{8}}}}={{x}^{\frac{7}{24}}}$.

Do đó $P=\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\sqrt[4]{\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a}{b}}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{7}{24}}}\Rightarrow m=\frac{7}{24}$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $Q=\frac{{{a}^{\frac{7}{6}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[6]{a{{b}^{2}}}}=\frac{{{a}^{\frac{7}{6}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}}{{{\left( a{{b}^{2}} \right)}^{\frac{1}{6}}}}=\frac{{{a}^{\frac{7}{6}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}.{{b}^{\frac{2}{6}}}}=a$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $Q=\sqrt{x.\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}.\sqrt[6]{x}=\sqrt{x.{{x}^{\frac{2}{3}}}}.{{x}^{\frac{1}{6}}}={{x}^{\frac{5}{6}}}.{{x}^{\frac{1}{6}}}=x$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $P=\sqrt[3]{x.\sqrt[4]{{{x}^{2}}.\sqrt{{{x}^{3}}}}}=\sqrt[3]{x.\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{\frac{3}{2}}}}}=\sqrt[3]{x.{{\left( {{x}^{\frac{7}{2}}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}={{\left( {{x}^{\frac{15}{8}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{x}^{\frac{5}{8}}}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{{{a}^{2}}.{{\left( {{a}^{-2}}.{{b}^{3}} \right)}^{2}}.{{b}^{-1}}}{{{\left( {{a}^{-1}}.b \right)}^{3}}.{{a}^{-5}}.{{b}^{-2}}}=\frac{{{a}^{2}}.{{a}^{-4}}.{{b}^{6}}.{{b}^{-1}}}{{{a}^{-3}}.{{b}^{3}}.{{a}^{-5}}.{{b}^{-2}}}=\frac{{{a}^{-2}}.{{b}^{5}}}{{{a}^{-8}}.b}={{a}^{6}}.{{b}^{4}}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{{{x}^{{{a}^{2}}}}}{{{x}^{{{b}^{2}}}}}={{x}^{9}}\Leftrightarrow {{x}^{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}={{x}^{9}}\xrightarrow{x>1}{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=9\Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( a-b \right)=9\Leftrightarrow a-b=\frac{9}{a+b}=\frac{9}{3}=3$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{x.\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{x}}{{{x}^{3}}}}}=\sqrt{x.\sqrt[4]{\frac{{{x}^{\frac{1}{3}}}}{{{x}^{3}}}}}=\sqrt{x.\sqrt[4]{{{x}^{\frac{-8}{3}}}}}=\sqrt{x.{{x}^{\frac{-2}{3}}}}=\sqrt{{{x}^{\frac{1}{3}}}}={{x}^{\frac{1}{6}}}\Rightarrow m=\frac{1}{6}$.

Lại có: ${{y}^{2}}.\sqrt{y.\sqrt[3]{\frac{1}{{{y}^{2}}}}}={{y}^{2}}.\sqrt{y.\sqrt[3]{{{y}^{-2}}}}={{y}^{2}}.\sqrt{y.{{y}^{\frac{-2}{3}}}}={{y}^{2}}.\sqrt{{{y}^{\frac{1}{3}}}}={{y}^{2}}.{{y}^{\frac{1}{6}}}={{y}^{\frac{13}{6}}}\Rightarrow n=\frac{13}{6}$.

Do đó: $m-n=-2$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( 5+2\sqrt{6} \right)\left( 5-2\sqrt{6} \right)=25-24=1$.

Do đó: $P={{\left( 5+2\sqrt{6} \right)}^{2018}}.{{\left( 5-2\sqrt{6} \right)}^{2019}}={{\left[ \left( 5+2\sqrt{6} \right)\left( 5-2\sqrt{6} \right) \right]}^{2018}}.\left( 5-2\sqrt{6} \right)=5-2\sqrt{6}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $3\sqrt{2}-4=\sqrt{2}\left( 3-2\sqrt{2} \right)\Rightarrow M={{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{2019}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2018}}.{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{2018}}$.

Lại có: $\left( 3+2\sqrt{2} \right)\left( 3-2\sqrt{2} \right)={{3}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=9-8=1$ nên ${{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{2018}}.{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{2018}}=1$.

Do đó: $M=\left( 3-2\sqrt{2} \right){{.2}^{1009}}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T={{4}^{x+1}}+{{2}^{2-x}}={{4}^{x}}.4+\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{x}}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}.4+\frac{4}{{{2}^{x}}}={{4.5}^{2}}+\frac{4}{5}=\frac{504}{5}$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{4}^{x}}+{{4}^{-x}}=34\Leftrightarrow {{2}^{2x}}+2+{{2}^{-2x}}=36\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=6$ (Do ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0$).

Khi đó: $T=\frac{6-3}{1-2\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}=\frac{3}{1-2.6}=\frac{-3}{11}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=f\left( a \right)+f\left( b \right)=f\left( a \right)+f\left( 1-a \right)=\frac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\frac{{{9}^{1-a}}}{{{9}^{1-a}}+3}=\frac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\frac{\frac{9}{{{9}^{a}}}}{\frac{9}{{{9}^{a}}}+3}$

$\frac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\frac{9}{9+{{3.9}^{a}}}=\frac{{{9}^{a}}}{{{9}^{a}}+3}+\frac{3}{{{9}^{a}}+3}=1$. Chọn B.

Tổng quát: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{x}}+\sqrt{a}}$ ta có $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$.

Lời giải chi tiết

Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{x}}+\sqrt{a}}$ ta có $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$.

Khi đó $S=\left[ f\left( \frac{1}{2005} \right)+f\left( \frac{2004}{2005} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{2005} \right)+f\left( \frac{2003}{2005} \right) \right]+...+\left[ f\left( \frac{1002}{2005} \right)+f\left( \frac{1003}{2005} \right) \right]+f\left( 1 \right)$

$=1+1+...+1+f\left( 1 \right)=1002+\frac{4}{6}=\frac{3008}{3}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=2x+2\sqrt{{{x}^{2}}-1}+2x-2\sqrt{{{x}^{2}}-1}=4x$.

Và $\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right).\left( \sqrt{1x+1}+\sqrt{x-1} \right)=x+1-x+1=2$.

Suy ra $Q=\frac{1}{x}.\frac{{{\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \right).\left( \sqrt{1x+1}+\sqrt{x-1} \right)}=\frac{1}{x}.\frac{4x}{2}=2$.Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{{{\left( \sqrt[4]{a} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt[4]{b} \right)}^{2}}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt[4]{a}\left( \sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b} \right)}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( \frac{1}{125} \right)}^{{{a}^{2}}+4ab}}={{\left( \sqrt[3]{625} \right)}^{3{{a}^{2}}-10ab}}\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{-3}} \right)}^{{{a}^{2}}+4ab}}={{\left( {{5}^{\frac{4}{3}}} \right)}^{3{{a}^{2}}-10ab}}\Leftrightarrow {{\left( 5 \right)}^{-3\left( {{a}^{2}}+4ab \right)}}={{\left( 5 \right)}^{\frac{4}{3}\left( 3{{a}^{2}}-10ab \right)}}$

$\Leftrightarrow -3\left( {{a}^{2}}+4ab \right)=\frac{4}{3}\left( 3{{a}^{2}}-10ab \right)\Leftrightarrow 4\left( 3{{a}^{2}}-10ab \right)+9\left( {{a}^{2}}+4ab \right)=0$

$\Leftrightarrow 21{{a}^{2}}=4ab\xrightarrow{a,b\ne 0}21a=4b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{4}{21}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{9}^{x}}+{{9}^{-x}}={{\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}^{2}}-2=14\Rightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{-x}}=4$.

Suy ra $\frac{6+3\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}{2-{{3}^{x+1}}-{{3}^{1-x}}}=\frac{6+3\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}{2-3\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}=\frac{6+3.4}{2-3.4}=-\frac{9}{5}\Rightarrow P=ab=-45$. Chọn C.