Bài tập cực trị hàm bậc 4 (trùng phương) có đáp án chi tiết

Bài tập cực trị hàm bậc 4 (trùng phương) có đáp án

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=m+1  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.(*)$

Với $m>-1$ thì $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}=m\text{                             }  \\   {{x}_{2}}=\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{2}}=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+m\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{3}}=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+m  \\\end{matrix} \right.$

Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là $A\left( 0;m \right),B\left( \sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 \right),C\left( -\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Từ đó $OA=BC\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\left( m+1 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2+2\sqrt{2}  \\   m=2-2\sqrt{2}  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=2\pm 2\sqrt{2}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=4x\left[ {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}={{m}^{2}}\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.(*)$

Với $m\ne 0$ thì $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}=1\text{            }  \\   {{x}_{2}}=m\Rightarrow {{y}_{2}}=1-{{m}^{4}}\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-m\Rightarrow {{y}_{3}}=1-{{m}^{4}}  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;1 \right),B\left( m;1-{{m}^{4}} \right),C\left( -m;1-{{m}^{4}} \right)$

Ta nhận thấy tam giác$\Delta ABC$ luôn cân tại A. Để $\Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.

Từ đó suy ra

$AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \left( m;-{{m}^{4}} \right).\left( -m;-{{m}^{4}} \right)=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{m}^{6}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{  }  \\   m=\pm 1  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}+4mx=4x\left( {{x}^{2}}+m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=-m\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m<0.(*)$

Với $m<0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=-m-1\text{                }  \\   x=\sqrt{-m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1\text{  }  \\   x=-\sqrt{-m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;-m-1 \right),B\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 \right),C\left( -\sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.

a) Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}-m-1 \right)$ 

Khi đó, ${{S}_{\Delta ABC=}}=\frac{1}{2}AH.BC=4\sqrt{2}\Leftrightarrow AH.BC=8\sqrt{2}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}}=128.\text{    }(1)$

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;-{{m}^{2}} \right),$ từ đó (1)$\Leftrightarrow -4m.{{m}^{4}}=128\Leftrightarrow {{m}^{5}}=-32\Rightarrow m=-2$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

b) Tam giác ABC đều khi $AB=BC\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},\text{   }\left( 2 \right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right),$ từ đó

$(2)\Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=-4m\Leftrightarrow {{m}^{4}}=-3m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{     }  \\   m=-\sqrt[3]{3}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-\sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.

c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng ${{120}^{0}}$ thì $\widehat{BAC}={{120}^{0}}$

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Trong tam giác vuông HAB có

$\sin \widehat{HAB}=\sin {{60}^{0}}=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{3}AB=2BH=BC\Leftrightarrow 3A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},\text{   (3)}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right),$ khi đó $(3)\Leftrightarrow 3\left( -m+{{m}^{4}} \right)=-4m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{      }  \\   m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=m\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m>0.(*)$

Với $m>0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=m-1\text{                }  \\   x=\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1\text{  }  \\   x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;m-1 \right),B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right)$

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}+m-1 \right)$

Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.BC.AC}{4R}\Rightarrow R=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH},\text{   (1)}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}}  \\   AH={{m}^{2}}\text{       }  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó, $(1)\Leftrightarrow 2=\frac{m+{{m}^{4}}}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{           }  \\   m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=1;m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m+1\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.(*)$

Với $m\ne 0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}={{m}^{2}}\text{                   }  \\   {{x}_{2}}=\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{2}}=-2m-1\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{3}}=-2m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;{{m}^{2}} \right),B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right),C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

Ta nhận thấy tam giác ABC luôn cân tại A. Để $\Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$

Từ đó suy ra $AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -\left( m+1 \right)+{{\left( m+1 \right)}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m+1=0 \\  {} m+1=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=0\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=0$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left( 0;2 \right)\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m+1\text{                                    }  \\\end{matrix}(1). \right.$

Để hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

Khi đó ta có: $x=\pm \sqrt{m+1}\Rightarrow y=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+2=-{{m}^{2}}-2m+1.$

$\Rightarrow B\left( \sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 \right);C\left( -\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 \right).$

Theo giả thiết ta có: $BC=4OA\Leftrightarrow 2\sqrt{m+1}=4.2\Leftrightarrow \sqrt{m+1}=4\Leftrightarrow m=15\left( tm \right).$

Vậy $m=15$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=2{{m}^{2}}+1\Rightarrow A\left( 0;2{{m}^{2}}+1 \right)\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m\text{                                                            }  \\\end{matrix}(1). \right.$

Để hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$m>0.$

Khi đó ta có: $x=\pm \sqrt{m}\Rightarrow y={{m}^{2}}+1\Rightarrow B\left( \sqrt{m};{{m}^{2}}+1 \right);C\left( -\sqrt{m};{{m}^{2}}+1 \right).$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right).$ Khi đó $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ do vậy tam giác ABC cân tại A suy ra tam giác ABC vuông cân $\Leftrightarrow $ vuông cân tại $A\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow m\left( {{m}^{3}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=1\text{          }  \\\end{matrix} \right..$

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;2m+1 \right),B\left( -\sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} \right),C\left( \sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} \right)$

Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}={{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=-2{{m}^{2}}+6m+3=3\Leftrightarrow m=3.$

Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}}+m \right),B\left( -\sqrt{m};m \right),C\left( \sqrt{m};m \right)$

+) Để $2OA+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=8\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}+m \right)+2\left( m+{{m}^{2}} \right)=8$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m=2\Leftrightarrow m=1\left( do\text{ }m>0 \right).$ Kết hợp điều kiện ta được $m=1$ là giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

+) Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}}+1 \right),B\left( \sqrt{m+1};-2m \right),C\left( -\sqrt{m+1};-2m \right)$

$B{{C}^{2}}=4\left( m+1 \right);B{{E}^{2}}=m+1+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}=C{{E}^{2}}$

Do $BE=CE$ nên tam giác BCE đều$\Leftrightarrow BE=BC\Leftrightarrow 4\left( m+1 \right)=m+1+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-7m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{   }  \\   m=-\frac{1}{4}  \\\end{matrix}\left( t/m \right) \right..$ Vậy $m=2;m=-\frac{1}{4}$ là các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết

Hàm số có 3 điểm cực trị $ab=1.\left[ -\left( m+1 \right) \right]-1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}+2\left( {{m}^{2}}-4m+2 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                         }  \\   {{x}^{2}}=\frac{-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)}{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có 1 điểm cực trị $ab={{m}^{2}}-4m+3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m\ge 3  \\   m\le 1  \\\end{matrix} \right..$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Với $m=1\Rightarrow y={{x}^{2}}+3$ nên hàm số đã cho có một điểm cực trị

Với $m\ne 1$ để hàm số có 1 điểm cực trị$\Leftrightarrow ab=\left( m-1 \right)\left( 2m-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>1  \\   m\le \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$

Kết hợp cả 2 trường hợp ta được $\left[ \begin{matrix}   m\ge 1  \\   m\le \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right.$là giá trị cần tìm. Chọn D.

Lời giải

TH1: Với $m=0,$ ta có $y=-{{x}^{2}}-2\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

TH2: Với $m\ne 0,$ ta có $y'=4m{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right)x=x\left( 4m{{x}^{2}}+2m-1 \right);\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $y'=0\Leftrightarrow x\left( 4m{{x}^{2}}+2m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   4m{{x}^{2}}=1-2m  \\\end{matrix} \right..$

Để hàm số có một cực đại và không có cực tiểu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow m<0. \right.$ Vậy $m\le 0$. Chọn B.

Lời giải

Với ${{m}^{2}}-2m=0$ thì hàm số đã cho không thể có 3 điểm cực trị

Với ${{m}^{2}}-2m\ne 0$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì $ab=f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}-2m \right)\left( m-1 \right)<0.$

Lập bảng xét dấu cho $f\left( m \right)$ ta được $f\left( m \right)<0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;2 \right).$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 100 giá trị nguyên của m. Chọn B.

Lời giải

Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a={{m}^{2}}-1<0\text{                  }  \\   ab=\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( 2m-1 \right)<0  \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}-10  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<1.$ Chọn A.

Lời giải

Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi

$\left\{ \begin{matrix}   m>0\text{                     }  \\   ab=m\left( {{m}^{2}}-1 \right)0\text{       }  \\   {{m}^{2}}-1<0  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow 0<m<1.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có $y'=4a{{x}^{3}}+2bx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=c  \\   {{x}^{2}}=\frac{-b}{2a}\text{        }  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( 1;-2 \right)$nên $\left\{ \begin{matrix}   \frac{-b}{2a}=1\text{          }  \\   a+b+2=-2  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   b=-2a\text{   }  \\   a+b=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=4\text{  }  \\   b=-8  \\\end{matrix} \right..$ Chọn A.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{     }  \\   {{x}^{2}}=-m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $-m>0\Leftrightarrow m<0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right),B\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 \right),C\left( -\sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A. Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=-1\text{       }  \\\end{matrix} \right..$

Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh với $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$ ta có: ${{\tan }^{2}}\frac{A}{2}=\frac{-8a}{{{b}^{3}}}\Leftrightarrow \frac{-8}{8{{m}^{3}}}=1\Leftrightarrow m=-1.$

Chọn B.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   {{x}^{2}}={{m}^{2}}  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là ${{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right),B\left( m;1-{{m}^{4}} \right),C\left( m;1-{{m}^{4}} \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{8}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -m+{{m}^{6}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( l \right)\text{            }  \\   {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}} \right),B\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right),C\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

$\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( \sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$

+) Do$AB=AC$ nên tam giác ABC vuông $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{4}}-\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1\left( loai \right)  \\   m=0\left( t/m \right)\text{ }  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $m>0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$A\left( 0;2m+{{m}^{4}} \right),B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right),C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Tam giác ABC đều $\Leftrightarrow AB=BC\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=\sqrt[3]{3}\text{      }  \\   m=0\left( loai \right)  \\\end{matrix} \right..$

Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ ta có: ${{\tan }^{2}}\frac{A}{2}=\frac{-8a}{{{b}^{3}}}\Leftrightarrow \frac{-8}{-8{{m}^{3}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}.$

Chọn C.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: $m>0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$A\left( 0;2{{m}^{2}}-4 \right),B\left( \sqrt{m};{{m}^{2}}-4 \right),C\left( -\sqrt{m};{{m}^{2}}-4 \right)$

Trung điểm của BC là $H\left( 0;{{m}^{2}}-4 \right).$ Do đó $S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{H}} \right|.\left| {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right|.$

$=\frac{1}{2}.\left| {{m}^{2}} \right|.2\sqrt{m}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}\sqrt{m}=1\Leftrightarrow m=1.$

Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với ${{S}^{2}}=\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}=1\Leftrightarrow m=1.$ Chọn A.

Lời giải

Ta có: ${{S}^{2}}=\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}\Rightarrow S={{m}^{2}}\sqrt{m}.$

Khi đó: $1<S<2018\Leftrightarrow 1<{{m}^{2}}\sqrt{m}<2018\Leftrightarrow 1<{{m}^{5}}<{{2018}^{2}}\Leftrightarrow 1<m<20,98$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 19 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có CĐ,CT $\Leftrightarrow m>0.$  Khi đó gọi$A\left( 0;2m \right)B\left( \sqrt{m};2m-{{m}^{2}} \right),C\left( -\sqrt{m};2m-{{m}^{2}} \right)$

Gọi H là trung điểm của BC ta có$H\left( 0;2m-{{m}^{2}} \right).$ Dễ thấy tam giác ABC cân tại A.

$\Rightarrow \widehat{BAC}={{120}^{0}}$ có đường trung tuyến AH do đó: $\widehat{BAH}={{60}^{0}}.$

Khi đó ta có: $\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\left| \frac{\sqrt{m}}{{{m}^{2}}} \right|=\frac{1}{m\sqrt{m}}=\sqrt{3}\Rightarrow {{m}^{3}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.$

Vậy $m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị thì $m>0\text{   (1)}$

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là:$A\left( 0;1-m \right),B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow{OA}\left( 0;1-m \right),\overrightarrow{OB}\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right),\overrightarrow{BC}\left( -2\sqrt{m};0 \right),\overrightarrow{AC}\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right)$

Vì O là trực tâm nên $\left\{ \begin{matrix}   \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{BC}=0  \\   \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   0=0\text{                                                   }  \\   \sqrt{m}.\left( -\sqrt{m} \right)+\left( -{{m}^{2}}-m+1 \right)\left( -{{m}^{2}} \right)=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=0;m=\pm 1\text{  (2)}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m=1.$ Chọn C.

Lời giải

Hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\Rightarrow a=1;b=-2m;c=m.$

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx;y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$

Cách 2: $A\left( 0;m \right),B\left( -\sqrt{m};m-{{m}^{2}} \right),C\left( \sqrt{m};m-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\left( {{m}^{4}}+m \right).2\sqrt{m}}{4.m\sqrt{m}}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=2m.$

Kết hợp với điều kiện $m>0\Rightarrow m=1;m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn C.