Skip to main content
Đáp án đề thi THPT Quốc Gia 2021

Bài tập Hình nón nội — ngoại tiếp khối chóp đều

Bài tập Hình nón nội — ngoại tiếp khối chóp đều

Bài tập Hình nón nội — ngoại tiếp khối chóp đều

Mô hìnhHình vẽ tham khảo (3D)Tính chất
Hình nón nội tiếp hình chóp tam giác đều

 

l        Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

l        Bán kính đáy OE là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đáy

l        Đường sinh $l=SE$

Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

 

l        Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

l        Bán kính đáy OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

l        Đường sinh $l=SA$

Hình nón nội tiếp hình chóp tứ giác đều

 

l        Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

l        Bán kính đáy OM (với M là trung điểm AB) là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông đáy

l        Đường sinh $l=SM$

Hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều

 

l        Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

l        Bán kính đáy OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy

l        Đường sinh $l=SA$

 

Bài tập 1: Thể tích khối nón ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là

A. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{9}$ B. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}$ C. $\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{27}$              D. $\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{9}$.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ∆BCD $\Rightarrow AO\bot \left( BCD \right)$

Dễ thấy, bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BCD  là $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Suy ra bán kính đáy hình nón là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác ABO vuông tại O, có $AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Do đó, chiều cao của hình nón là $h=AO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{27}$

Chọn C

 

Bài tập 2:  Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 4a là

A. $2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ B. $\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ C. $4\pi {{a}^{2}}$              D. $2\pi {{a}^{2}}$

Lời giải chi tiết

Theo bài ra, ta có bán kính đáy $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$; đường sinh $l=4a$(xem mô hình ở lý thuyết)

Vậy diện tích xung quanh cần tính là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.4a=2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$. Chọn A.

Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = AB = a. Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}$ B. $\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{27}$ C. $\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{108}$              D. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{108}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ∆ABC $\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$

Bán kính đáy hình nón là $R={{r}_{\Delta ABC}}=OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Tam giác SAO vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}.{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}}{108}$

 Chọn C.

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tam giác SAB có diện tích bằng $2{{a}^{2}}$. Thể tích khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD bằng

A. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{6}$ B. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{8}$ C. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{4}$              D. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{2}$

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow SM\bot AB\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}SM.AB$

Mà ${{S}_{\Delta SAB}}=2{{a}^{2}};AB=a\to SM=2.2{{a}^{2}}:a=4a$

Bán kính đáy hình nón $R=OM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$

Tam giác SMO vuông tại M, có $SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\frac{3\sqrt{7}a}{2}$

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}.{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\frac{3\sqrt{7}a}{{}}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{8}$

Chọn B.

Bài tập 5: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi {{a}^{2}}$. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy hình nón và đỉnh S trùng với đỉnh của hình nón (N)?

A. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$ B. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}$ C. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$              D. $\frac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông ABCD $\Rightarrow $ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Theo bài ra, đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp ABCD

$\Rightarrow R={{R}_{ABCD}}=OA=\frac{AC}{2}=a\Rightarrow AC=2a\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$

Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=2\pi {{a}^{2}}\Rightarrow l=2a$

Hình nón (N) có đường sinh $l=SA=2a$

Tam giác SAO vuông tại O, có  $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$

Chọn D

 

Bài tập 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60o. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$ B. $\frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3}$ C. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$              D. $\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{6}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$

Bán kính đáy hình nón là $R={{R}_{\Delta ABC}}=OA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & AB\bot OM \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SMO \right)$

Do đó $\left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\left( SM;OM \right)=S\hat{M}O={{60}^{o}}$

Tam giác SMO vuông tại O, có $\cos S\hat{M}O=\frac{OM}{SM}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác SBM vuông tại M, có $SB=\sqrt{S{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$

Vậy hình nón có đường sinh $l=\frac{a\sqrt{21}}{6}\to {{S}_{sq}}=\pi Rl=\frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6}$

Chọn A.

 

 

Bài tập 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = BC = 10a, AC = 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 45o. Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC bằng

A. $3\pi {{a}^{3}}$ B. $9\pi {{a}^{3}}$ C. $27\pi {{a}^{3}}$ D. $12\pi {{a}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC $SO\bot \left( ABC \right)$

Kẻ $OM\bot AB\Rightarrow OM$ là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

Diện tích ∆ABC là ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=48{{a}^{2}}$

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC\Rightarrow {{r}_{\Delta ABC}}=\frac{S}{p}=3a$

Ta có $AB\bot \left( SMO \right)\Rightarrow \left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\widehat{SMO}={{45}^{o}}$

Tam giác SMO vuông tại O, có $SO=OM={{r}_{\Delta ABC}}=3a$

Vậy thể tích khôi nón cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}.{{\left( 3a \right)}^{2}}.3a=9\pi {{a}^{3}}$

Chọn B.

Bài tập 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến một mặt bên là $\frac{a}{2}$. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{27}$ C. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$              D. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm BC $\Rightarrow BC\bot AM\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)$

Kẻ $OH\bot SM$ mà $BC\bot OH\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)$

Tacó $OM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.2a=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác SMO vuông tại O, có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là ${{R}_{\Delta ABC}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi a}{3}.{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$

Chọn C

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Lý thuyết Toán Lớp 12