Bài tập liên quan Hình trụ nội tiếp hình cầu có đáp án chi tiết

 Bài tập liên quan Hình trụ nội tiếp hình cầu có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm về hình trị nội tiếp hình cầu hay ra trong đề thi có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi r, h, R lần lượt là bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ và bán kính của hình cầu. Theo hình vẽ, ta được $I{{A}^{2}}=I{{\text{O}}^{2}}+O{{A}^{2}}$

$\xrightarrow{{}}$ (công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu)

Với $h=4,R=3\xrightarrow{{}}{{3}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{4}^{2}}}{4}\Rightarrow r=\sqrt{5}$

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=20\pi .$Chọn D.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu, ta được

${{R}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}={{\left( 3\text{a} \right)}^{2}}+\frac{{{\left( \text{8a} \right)}^{2}}}{4}=9{{\text{a}}^{2}}+16{{\text{a}}^{2}}=25{{\text{a}}^{2}}\xrightarrow{{}}R=5\text{a}$

Vậy thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{500\pi {{a}^{3}}}{3}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{h}_{0}}=TB$ (hình vẽ bên)

Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{256\pi }{3}\Leftrightarrow R=4cm$

Bán kính đáy của hình trụ là $r=\frac{d}{2}=3cm$

Tam giác MBO vuông tại B, có $OB=\sqrt{O{{M}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{7}$

Do đó $TB=TO+OB=4+\sqrt{7}\approx 6,65cm.$Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm $O{O}'\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu

Tam giác IAO có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}$

Ta có ${{S}_{xq}}=2\pi Rh=\pi h.\sqrt{4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}}}$

$=\pi \sqrt{\underbrace{{{h}^{2}}}_{a}.\underbrace{\left( 4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}_{b}}\overset{Co-si}{\mathop{\le }}\,\pi .\frac{{{h}^{2}}+\left( 4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}{2}$

Suy ra ${{S}_{xq}}\le 2\pi {{R}^{2}}\xrightarrow{{}}{{S}_{ma\text{x}}}=2\pi {{R}^{2}}.$

Dấu bằng xảy ra khi ${{h}^{2}}=4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}}\Leftrightarrow $$h=R\sqrt{2}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm $O{O}'\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu

Tam giác IAO có ${{r}^{2}}={{\text{R}}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}}}$

Ta có $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi h.\left( {{\text{R}}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4} \right)=f\left( h \right)$

Xét hàm số $f\left( h \right)$có ${f}'\left( h \right)=\pi {{\text{R}}^{2}}-\frac{3\pi }{4}{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow $$h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow {{V}_{max}}$ khi $h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.$ Chọn B.