Bài tập mạch dao động LC có đáp án chi tiết
BÀI TẬP MẠCH DAO ĐỘNG LC CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Ví dụ 1: [Trích đề thi THPT QG 2016] Trong mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang hoạt động, điện tích trên một bản tụ điện biến thiên điều hoà và A. cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch. B. lệch pha $0,25\pi $ so với cường độ dòng điện trong mạch. C. ngược pha với cường độ dòng điện trong mạch. D. lệch pha $0,5\pi $ so với cường độ dòng điện trong mạch. |
HD giải: $q={{Q}_{0}}\cos (\omega t+\varphi )$ và $i=\omega {{Q}_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)$. Chọn D.
Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT QG 2016]. Một mạch dao động điện từ lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm ${{10}^{-5}}H$ và tụ điện có điện dung$2,{{5.10}^{-6}}F$. Lấy$\pi =3,14$. Chu kì dao động riêng của mạch là A. $1,{{57.10}^{-5}}$. B. $1,{{57.10}^{-10}}$. C. $6,{{28.10}^{-10}}$. D. $3,{{14.10}^{-5}}$. |
HD giải: Ta có: $T=2\pi \sqrt{LC}=3,{{14.10}^{-5}}$. Chọn D.
Ví dụ 3: Mạch dao động lý tưởng gồm: A. một tụ điện và một cuộn cảm thuần. B. một tụ điện và một điện trở thuần. C. một cuộn cảm thuần và một điện trở thuần. D. một nguồn điện và một tụ điện. |
HD giải: Mạch dao động lý tưởng gồm tụ điện và cuộn cảm thuần. Chọn A.
Ví dụ 4: Mạch dao động điện từ gồm tụ điện C và cuộn cảm L dao động tự do với tần số góc A. $\omega =2\pi \sqrt{LC}$. B. $\omega =\frac{2\pi }{\sqrt{LC}}$. C. $\omega =\sqrt{LC}$. D. $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$. |
HD giải: Ta có: $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$. Chọn D.
Ví dụ 5: Một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện có điện dung $0,125\mu F$và một cuộn cảm có độ tự cảm$50\mu H$. Điện trở thuần của mạch không đáng kể. Hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện là 3V. Cường độ dòng điện cực đại trong mạch là A. 7,52 A. B. 7,52 mA. C. 15 mA. D. 0,15 A. |
HD giải: Ta có: ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}=\omega .C{{U}_{0}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}C{{U}_{0}}=\sqrt{\frac{C}{L}}{{U}_{0}}=\sqrt{\frac{0,125}{50}}.3=0,15 A$. Chọn D.
Ví dụ 6: [Trích đề thi THPT QG 2017]. Gọi A và ${{v}_{M}}$ lần lượt là biên độ và vận tốc cực đại của một vật trong dao động điều hoà; ${{Q}_{0}}$ và ${{I}_{0}}$ lần lượt là điện tích cực đại trên một bản tụ điện và cường độ dòng điện cực đại trong mạch dao động LC đang hoạt động. Biểu thức $\frac{{{v}_{M}}}{A}$có cùng đơn vị với biểu thức: A. $\frac{{{I}_{0}}}{{{Q}_{0}}}$. B. ${{Q}_{0}}I_{0}^{2}$. C. $\frac{{{Q}_{0}}}{{{I}_{0}}}$. D. ${{I}_{0}}Q_{0}^{2}$. |
HD giải: Trong dao động điều hòa ta có: ${{v}_{\max }}=\omega A\Rightarrow \omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}(rad/s)$.
Trong mạch dao động LC ta có: ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}\Rightarrow \omega =\frac{{{I}_{0}}}{{{Q}_{0}}}(rad/s)$.
Vậy $\frac{{{v}_{M}}}{A}$có cùng đơn vị với $\frac{{{I}_{0}}}{{{Q}_{0}}}$. Chọn A.
Ví dụ 7: [Trích đề thi THPT QG 2017]. Hiệu điện thể giữa hai bản tụ điện của một mạch dao động LC lý tưởng có phương trình $u=80\sin \left( {{2.10}^{7}}t+\frac{\pi }{6} \right)(V)$ (t tính bằng s). Kể từ thời điểm $t=0$, thời điểm hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện bằng 0 lần đầu tiên là: A. $\frac{7\pi }{6}{{.10}^{-7}}s$. B. $\frac{5\pi }{12}{{.10}^{-7}}s$. C. $\frac{11\pi }{12}{{.10}^{-7}}s$. D. $\frac{\pi }{6}{{.10}^{-7}}s$. |
HD giải: Ta có: $u=0\Leftrightarrow \sin \left( {{2.10}^{-7}}t+\frac{\pi }{6} \right)=0\Leftrightarrow {{2.10}^{-7}}t+\frac{\pi }{6}=k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Thời điểm đầu tiên ứng với $k=1\Rightarrow t=\frac{5\pi }{{{6.2.10}^{7}}}=\frac{5\pi }{12}{{.10}^{-7}}s$. Chọn B.
Chú ý: Bài này biểu thức đều ở hàm sin nên khi sử dụng phương pháp đường tròn hoặc trục thời gian ta cần chú ý đưa về hàm cosin.
Ví dụ 8: Một tụ điện có điện dung $10 \mu F$được tích điện đến một hiệu điện thế xác định. Sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 1 H. Bỏ qua điện trở của các dây nối, lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu (kể từ lúc nối) điện tích trên tụ điện có giá trị bằng một nửa giá trị ban đầu? A. $3/400 s$. B. $1/600 s$. C. $1/300 s$. D. $1/1200 s$. |
HD giải: Dựa vào trục thời gian ta có: ${{t}_{\left( {{Q}_{0}}\to \frac{{{Q}_{0}}}{2} \right)}}=\frac{T}{6}=\frac{2\pi \sqrt{LC}}{6}=\frac{\pi \sqrt{{{1.10.10}^{-6}}}}{3}=\frac{1}{300}s$. Chọn C.
Ví dụ 9: Một mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Biết điện tích cực đại của một bản tụ điện có độ lớn là ${{10}^{-8}}$ C và cường độ dòng điện cực đại qua cuộn cảm thuần là 62,8 mA. Tần số dao động điện từ tự do của mạch là A. $2,{{5.10}^{3}} kHz$. B. ${{3.10}^{3}} kHz$. C. ${{2.10}^{3}} kHz$. D. ${{10}^{3}} kHz$. |
HD giải: Ta có: ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}\Rightarrow \omega =\frac{{{I}_{0}}}{{{Q}_{0}}}=62,{{8.10}^{5}}(rad/s)\Rightarrow $ tần số dao động riêng là $f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{62,{{8.10}^{5}}}{2.3,14}={{10}^{3}} kHz$. Chọn D.
Ví dụ 10: Trong mạch dao động LC có dao động điện từ tự do (dao động riêng) với tần số góc ${{10}^{4}}$ rad/s. Điện tích cực đại trên tụ điện là ${{10}^{-9}}$ C. Khi cường độ dòng điện trong mạch bằng ${{6.10}^{-6}}$ A thì điện tích trên tụ điện là A. ${{6.10}^{-10}} C$. B. ${{8.10}^{-10}} C$. C. ${{2.10}^{-10}} C$. D. ${{4.10}^{-10}} C$. |
HD giải: Do i và q vuông pha với nhau nên theo hệ thức độc lập ta có:
${{\left( \frac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{q}{{{Q}_{0}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left( \frac{i}{\omega {{Q}_{0}}} \right)+{{\left( \frac{q}{{{Q}_{0}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{6.10}^{-6}}}{{{10}^{4}}{{.10}^{-9}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{q}{{{10}^{-9}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow q={{8.10}^{-8}} C$. Chọn B.
Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG 2015] Hai mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với cùng cường độ dòng điện cực đại ${{I}_{0}}$. Chu kì dao động riêng của mạch thứ nhất là ${{T}_{1}}$, của mạch thứ hai là${{T}_{2}}=2{{T}_{1}}$. Khi cường độ dòng điện trong hai mạch có cùng độ lớn và nhỏ hơn ${{I}_{0}}$ thì độ lớn điện tích trên một bản tụ điện của mạch dao động thứ nhất là ${{q}_{1}}$ và của mạch dao động thứ hai là ${{q}_{2}}$. Tỉ số $\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}$ là: A. 2. B. 1,5. C. 0,5. D. 2,5. |
HD giải: Ta có $q\bot i\Rightarrow {{\left( \frac{q}{{{Q}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{q}{\frac{{{I}_{0}}}{\omega }} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{q}^{2}}=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}.\left( I_{0}^{2}-{{i}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \left| q \right|=\frac{T}{2\pi }\sqrt{I_{0}^{2}-i_{0}^{2}}$. Theo giả thiết suy ra: $\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{2}}}=\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=0,5$. Chọn C.
Ví dụ 11: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh lần 1- 2017]. Trong mạch dao động LC tự do có cường độ dòng điện cực đại là ${{I}_{0}}$. Tại một thời điểm nào đó khi dòng điện trong mạch có cường độ là i, hiệu điện thế hai đầu tụ điện là u thì ta có quan hệ: A. $I_{0}^{2}-{{i}^{2}}=L{{u}^{2}}/C$. B. $I_{0}^{2}-{{i}^{2}}=C{{u}^{2}}/L$. C. $I_{0}^{2}-{{i}^{2}}=LC{{u}^{2}}$. D. $I_{0}^{2}-{{i}^{2}}={{u}^{2}}/LC$. |
HD giải: Do $u\bot i$ nên ta có: $\frac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}=1=\frac{{{u}^{2}}}{I_{0}^{2}.\frac{L}{C}}+\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}\Rightarrow I_{0}^{2}-{{i}^{2}}=\frac{C{{u}^{2}}}{L}$. Chọn B.
Ví dụ 12: [Trích đề thi Đại học năm 2014]. Một tụ điện có điện dung C tích điện ${{Q}_{0}}$. Nếu nối tụ điện với cuộn cảm thuần có độ tự cảm ${{L}_{1}}$, hoặc với cuộn cảm thuần có độ tự cảm ${{L}_{2}}$ thì trong mạch có dao động điện từ tự do với cường độ dòng điện cực đại là 20 mA hoặc 10 mA. Nếu nối tụ điện với cuộn cảm thuần có độ tự cảm ${{L}_{3}}=\left( 9{{L}_{1}}+4{{L}_{2}} \right)$ thì trong mạch có dao động điện từ tự do với cường độ dòng điện cực đại là A. 9 mA. B. 10 mA. C. 4 mA. D. 5 mA. |
HD giải: Ta có: ${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}=\frac{{{Q}_{0}}}{\sqrt{LC}}\Rightarrow L=\frac{Q_{0}^{2}}{C}.\frac{1}{I_{0}^{2}}$.
Khi đó ${{L}_{3}}=\left( 9{{L}_{1}}+4{{L}_{2}} \right)\Rightarrow \frac{1}{I_{03}^{2}}=\frac{9}{I_{01}^{2}}+\frac{4}{I_{02}^{2}}\Rightarrow {{I}_{03}}=4 mA$. Chọn C.
Ví dụ 13: [Trích đề thi Chuyên Đại học Vinh lần 2017] Trong mạch dao động có dao động điện từ tự do với điện tích cực đại của một bản tụ là ${{q}_{0}}$. Khi dòng điện có giá trị là i, điện tích một bản của tụ là q thì tần số dao động riêng của mạch là: A. $f=\frac{2\pi i}{\sqrt{q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$. B. $f=\frac{i}{2\pi \sqrt{q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$. C. $f=\frac{i}{\pi \sqrt{q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$. D. $f=\frac{\pi i}{\sqrt{q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$. |
HD giải: Trong mạch dao động LC thì q và i luôn dao động vuông pha nhau
Do đó ${{\left( \frac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{q}{{{q}_{0}}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{i}{{{q}_{0}}.2\pi f} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{q}{{{q}_{0}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow f=\frac{1}{2\pi \sqrt{q_{0}^{2}-{{q}^{2}}}}$. Chọn B.
Ví dụ 14: [Trích đề thi Đại học năm 2013] Hai mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích của tụ điện trong mạch dao động thứ nhất và thứ hai lần lượt là ${{q}_{1}}$và ${{q}_{2}}$ với: $4q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=1,{{3.10}^{-17}}$, q tính bằng C. Ở thời điểm t, điện tích của tụ điện và cường độ đòng điện trong mạch dao động thứ nhất lần lượt là ${{10}^{-9}}$ C và 6 mA, cường độ dòng điện trong mạch dao động thứ hai có độ lớn bằng A. 4 mA. B. 10 mA. C. 8 mA. D. 6 mA. |
HD giải: Ta có: $4q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=1,{{3.10}^{-17}}$.
Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được: $8{{q}_{1}}{{q}_{1}}^{\prime }+2{{q}_{2}}{{q}_{2}}^{\prime }=0$.
Mặt khác ${q}'=i\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 4q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=1,{{3.10}^{-17}} \\{} 8{{q}_{1}}{{i}_{1}}+2{{q}_{2}}{{i}_{2}}=0 \\ \end{array} \right.$
Thay số với ${{q}_{1}}={{10}^{-9}},{{i}_{1}}=6 mA\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{q}_{2}}={{3.10}^{-9}} \\ {} {{i}_{2}}=6 mA \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
Ví dụ 15: Trong một mạch dao động điện từ lý tưởng đang có dao động điện từ tự do với điện tích trên một bản tụ có biểu thức $q={{3.10}^{-6}}\sin \left( 2000t+\frac{\pi }{2} \right)C$. Biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong cuộn dây L là: A. $i=6\cos \left( 200t-\frac{\pi }{2} \right)mA$. B. $i=6\cos \left( 200t+\frac{\pi }{2} \right)mA$. C. $i=6\cos \left( 200t+\frac{\pi }{2} \right)A$. D. $i=6\cos \left( 200t-\frac{\pi }{2} \right)A$. |
HD giải: Ta có: $i={q}'(t)={{3.10}^{-6}}.2000.cos\left( 2000t+\frac{\pi }{2} \right)A={{6.10}^{-3}}\cos \left( 2000t+\frac{\pi }{2} \right)A$. Chọn B.
Ví dụ 16: [Trích đề thi Sở GD{}ĐT Thanh Hoá 17] Một mạch dao động LC lí tưởng, với cuộn cảm thuần $L=9 mH$ và tụ điện có điện dung C. Trong quá trình dao động, hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là 12 V. Tại thời điểm điện tích trên bản tụ có độ lớn $q=24 nC$ thì dòng điện trong mạch có cường độ $i=4\sqrt{3} mA$. Chu kỳ dao động riêng của mạch bằng: A. $12\pi (ms)$. B. $6\pi (\mu s)$. C. $12\pi (\mu s)$. D. $6\pi (ms)$. |
HD giải: Do $q\bot i$ nên ta có $\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{Q_{0}^{2}}=1\xrightarrow{{{I}_{0}}={{Q}_{0}}\omega }\frac{{{i}^{2}}}{{{\omega }^{2}}Q_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{Q_{0}^{2}}=1$
$\xrightarrow{{{Q}_{0}}=C{{U}_{0}}}\frac{{{i}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}U_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{{{C}^{2}}U_{0}^{2}}=1\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}.L}{CU_{0}^{2}}+\frac{{{q}^{2}}}{{{C}^{2}}U_{0}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow {{4.10}^{-18}}.\frac{1}{{{C}^{2}}}+{{3.10}^{-9}}\frac{1}{C}-1=0\Leftrightarrow C={{4.10}^{-9}}F\Rightarrow T=2\pi \sqrt{LC}=12\pi \mu s$. Chọn C.
Ví dụ 17: [Trích đề thi Đại học năm 2012] Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Biết điện tích cực đại trên một bản tụ điện là $4\sqrt{2}\left( \mu C \right)$ và cường độ dòng điện cực đại trong mạch là $0,5\pi \sqrt{2}\left( A \right)$. Thời gian ngắn nhất để điện tích trên một bản tụ giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại là: A. $4/3\left( \mu s \right)$. B. $16/3\left( \mu s \right)$. C. $2/3\left( \mu s \right)$. D. $8/3\left( \mu s \right)$. |
HD giải: Ta có: $\varpi =\frac{{{I}_{0}}}{{{Q}_{0}}}=0,125\pi {{.10}^{6}}\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\varpi }=16\mu s$.
Do đó ${{t}_{\left( {{Q}_{0}}\to \frac{{{Q}_{0}}}{2} \right)}}=\frac{T}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\mu s$. Chọn D.
Ví dụ 18: [Trích đề thi Đại học năm 2011] Một mạch dao động LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm 50 mH và tụ điện có điện dung C. Trong mạch đang có dao động điện từ tự do với cường độ dòng điện $i=0,12\cos 2000t$ (i tính bằng A, t tính bằng s). Ở thời điểm mà cường độ dòng điện trong mạch bằng một nửa cường độ hiệu dụng thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ có độ lớn bằng: A. $3\sqrt{14} V$. B. $5\sqrt{14} V$. C. $12\sqrt{3} V$. D. $6\sqrt{2} V$. |
HD giải: Ta có: $\omega =2000=\frac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow C=\frac{1}{L{{\omega }^{2}}}={{5.10}^{-6}}$.
Do $u\bot i\Rightarrow {{\left( \frac{i}{{{I}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{u}{{{U}_{0}}} \right)}^{2}}=1$.
Khi $i=\frac{I}{2}=\frac{{{I}_{0}}}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \left| u \right|=\frac{{{U}_{0}}\sqrt{14}}{4}=\frac{\frac{{{Q}_{0}}}{C}\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{{{I}_{0}}}{C\omega }\sqrt{14}}{4}=\frac{0,12\sqrt{14}}{{{5.10}^{-6}}.2000.4}=3\sqrt{14} V$. Chọn A.
Ví dụ 19: [Trích đề thi chuyên Phan Bội Châu 2017] Một mạch dao động LC gồm một cuộn cảm $L=500 \mu H$ và một tụ điện có điện dung $C=5 \mu F$. Lấy${{\pi }^{2}}=10$. Giả sử tại thời điểm ban đầu điện tích của tụ điện đạt giá trị cực đại ${{Q}_{0}}={{6.10}^{-4}}$ C. Biểu thức của cường độ đòng điện qua mạch là:
A. $i=6\cos \left( {{2.10}^{4}}t+\frac{\pi }{2} \right)A$. B. $i=12\cos \left( {{2.10}^{4}}t-\frac{\pi }{2} \right)A$ C. $i=6\cos \left( {{2.10}^{4}}t-\frac{\pi }{2} \right)A$. D. $i=12\cos \left( {{2.10}^{4}}t+\frac{\pi }{2} \right)A$. |
HD giải: Tần số góc của mạch dao động $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}={{2.10}^{4}} rad/s$.
Dòng điện cực đại chạy trong mạch
${{I}_{0}}=\omega {{Q}_{0}}=\frac{{{Q}_{0}}}{\sqrt{LC}}=\frac{{{6.10}^{-4}}}{\sqrt{{{500.10}^{-6}}{{.5.10}^{-6}}}}=12 A$. Vậy $i=12\cos \left( {{2.10}^{4}}t-\frac{\pi }{2} \right) A$. Chọn B.
Lý thuyết Vật Lý Lớp 12