Bài tập phương trình mũ – phương pháp đưa về cùng cơ số có đáp án chi tiết

Bài tập phương trình mũ – phương pháp đưa về cùng cơ số có đáp án

Một số bài tập trắc nghiệm giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=2x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1;x=2$

b) Ta có: ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x+1}}={{\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-1}} \right]}^{5x-7}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-5x+7}}$

$\Leftrightarrow x+1=-5x+7\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1$

Lời giải chi tiết

a)$PT\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}+{{4.2}^{2}}={{5}^{x}}+2.\frac{{{5}^{x}}}{5}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}$

$\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}}{{{5}^{x}}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{2}{5}}}\frac{1}{5}$

b) Do $\left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)=1\Rightarrow \left( \sqrt{5}+2 \right)={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}}$

Do đó $PT\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{-1}} \right]}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{1-x}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$ (ĐK $x\ne -1$)

$\Leftrightarrow 1-x=\frac{x-1}{x+1}\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1;x=-2$.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{x}}.2+{{2}^{x}}{{.2}^{2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x}}.\frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \left( 1+2+4 \right){{2}^{x}}=\left( 1+\frac{2}{5} \right){{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=\frac{7}{5}{{.5}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}=5\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x={{\log }_{\frac{5}{2}}}5$.

Lời giải chi tiết

a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=-3$.

b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=5 \\\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-1;x=5$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x-10\ne 0 \\  {} x-15\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ne 10 \\  {} x\ne 15 \\ \end{array} \right.$

Do $16={{2}^{4}};\,0,125=\frac{1}{8}={{2}^{-3}};\,8={{2}^{3}}$ nên ta có $PT\Leftrightarrow {{2}^{4.\frac{x+10}{x-10}}}={{2}^{-3}}{{.2}^{3.\frac{x+5}{x-15}}}\Leftrightarrow 4.\frac{x+10}{x-10}=-3+3.\frac{x+5}{x-15}$

$\Leftrightarrow \frac{4\left( x+10 \right)}{x-10}=\frac{60}{x-15}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-5x-150 \right)=15x-150\to \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=20 \\\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0;x=20$.

b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2\left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} \right)\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3.3}^{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}={{3.3}^{{{x}^{2}}}}-\frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}=\frac{25}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{125}{27}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{3}}\to x=\pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \sqrt{3}$.

Lời giải chi tiết

a) ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{x}}=\frac{27}{64}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3}.\frac{9}{8} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}\to x=3$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.

b) ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow \frac{{{4.9}^{x-1}}}{{{3.2}^{\frac{2x+1}{2}}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}{{.2}^{2-\frac{2x+1}{2}}}=1\Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3-2x}}=1$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{2x-3}}=1={{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)}^{0}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{3}{2}$.

Cách khác: ${{4.9}^{x-1}}=3\sqrt{{{2}^{2x+1}}}\Leftrightarrow {{16.81}^{x-1}}={{9.2}^{2x+1}}\Leftrightarrow 16.\frac{{{81}^{x}}}{81}={{9.2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{81}{4} \right)}^{x}}=\frac{18.81}{16}$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{9}{2} \right)}^{2x}}={{\left( \frac{9}{2} \right)}^{3}}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) ${{\left[ 2{{\left( {{2}^{\sqrt{x}+3}} \right)}^{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} \right]}^{\frac{2}{\sqrt{x}-1}}}=4$ , (1). Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$

(1) $\Leftrightarrow {{2}^{\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow \frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\Leftrightarrow 2x-5\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$.

b) ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}$, (2).

Do $\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=1\to \left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)=\frac{1}{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-1}}$

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{-6}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=3 \\ \end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ và $x=3$.

Lời giải chi tiết

$PT\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T={{0}^{2}}+{{1}^{2}}=1$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\frac{1}{243}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=5 \\ \end{array} \right.$

Do đó $T={{\left( -1 \right)}^{3}}+{{5}^{3}}=124$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{4.4}^{x}}={{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}\Leftrightarrow {{5.4}^{x}}={{3.2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{3}{5}={{\log }_{2}}3-{{\log }_{2}}5$

Khi đó $a=1;b=-1\Rightarrow T=a+b=0$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Do $\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}$

Ta có: ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-5x-7}}\Leftrightarrow 3x+1=-5x-7\Leftrightarrow x=-1$

Vậy $A=-1+{{3}^{-1}}=\frac{-2}{3}$. Chọn D.