Bài tập sóng dừng có đáp án chi tiết

BÀI TẬP SÓNG DỪNG CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Dạng 1: Điều kiện có sóng dừng

Lời giải chi tiết

Điều kiện sóng dừng trên dây với hai đầu cố định là $l=k\frac{\lambda }{2}$ với $sb=k,sn=k+1$ 

Các điểm đứng yên là các điểm nút nên tổng số nút trên dây là sn = 2 + 3 = 5 = k + l Þ k = 4

Suy ra $2=4.\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \lambda =1m$ . Vậy tốc độ truyền sóng trên dây là $v=\lambda f=1.100=100m/s$ . Chọn A

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ một nút đến bụng thứ n là $x=\left( 2n-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ 

Với n = 11 và x = 26,25cm suy ra $26,25=\left( 2.11-1 \right)\frac{\lambda }{4}\Rightarrow \lambda =5cm$ 

Tốc độ truyền sóng trên dây là  $v=\lambda f=5.10=50cm/s=0,5m/s.$ Chọn A

Chú ý: Khoảng cách từ nút 1 đến bụng thứ n là $x=\left( n-1 \right)\frac{\lambda }{2}$ 

Lời giải chi tiết

Điều kiện sóng dừng trên dây có 2 đầu cố định là $l=k.\frac{\lambda }{2}=k\frac{v}{2f}$ ,với sb = k

Với ${{f}_{1}}=42Hz\to sb=4\Rightarrow k=4$ suy ra $l=4.\frac{v}{2.42}=\frac{v}{21}\left( 1 \right)$ 

Với ${{f}_{1}}=mHz\to sb=6\Rightarrow k=6$ suy ra $l=6.\frac{v}{2.m}=\frac{3v}{m}\left( 2 \right)$ 

Lấy (1) : (2) ta được $\frac{l}{l}=\frac{v}{21}:\frac{3v}{m}\Leftrightarrow 1=\frac{m}{63}\Rightarrow m=63\Rightarrow f=63Hz.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

Điều kiện xảy ra sóng dừng trên dây $\Rightarrow 1=\left( 2k+1 \right)\frac{\lambda }{4}$ với số bụng = số nút = k + 1

Trên dây có 8 nút Þ k = 7 suy ra $90=\left( 2.7+1 \right)\frac{\lambda }{4}\Rightarrow \lambda =24cm$ 

Thời gian hai lần dây duỗi thẳng liên tiếp là $\frac{T}{2}$ suy ra $5.\frac{T}{2}=0,25\Leftrightarrow T=0,1s$ 

Vậy tốc độ truyền sóng là $v=\frac{\lambda }{T}=\frac{24}{0,1}=240cm/s=2,4m/s.$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Thời gian hai lần sợi dây duỗi thẳng liên tiếp là $\frac{T}{2}$  suy ra khoảng thời gian n lần tiếp sợi dây duỗi thẳng là $\Delta t=\left( n-1 \right)\frac{T}{2}$ . Với n = 6 $\to 0,25=5.\frac{T}{2}\Rightarrow T=0,1s$ 

Điều kiện sóng dừng trên dây với A cố định, B tự do là $l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ với $sb=sn=k$ 

Với số nút bằng 8 suy ra k = 8 $\Rightarrow 90=\left( 2.8-1 \right)\frac{\lambda }{4}\Rightarrow \lambda =24cm\to v=\frac{\lambda }{T}=240cm/s$ 

Khoảng cách từ A ( nút thứ 1) đến nút thứ 7 là $x=\left( n-1 \right)\frac{\lambda }{2}=\left( 7-1 \right).\frac{24}{2}=72cm$ . Chọn B

Lời giải chi tiết

Khoảng thời gian liên tiếp tốc độ dao động của điểm A cực đại là $\frac{T}{2}\Rightarrow \frac{T}{2}=0,005\Rightarrow T=0,01s$ 

Điều kiện sóng dừng với O cố định, A tự do là $OA=l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ , với sb = sn = k

Suy ra độ dài đoạn thẳng $OA=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}=\left( 2k-1 \right)\frac{v.T}{4}=\left( 2.8-1 \right)\frac{4.0,01}{4}=0,15m$ . Chọn B

Lời giải chi tiết

Điều kiện sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do là $l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ với sb = sn = k

Ta có $\lambda =\frac{v}{f}$ suy ra $l=\left( 2k-1 \right)\frac{v}{4f}\Leftrightarrow v=\frac{4l.f}{2k-1}=\frac{600}{2k-1}\in \left[ 150;400 \right]$ 

$\Leftrightarrow 150\le \frac{600}{2k-1}\le 400\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 2k-1\le \frac{600}{150}=4 \\ {} 2k-1\ge \frac{600}{400}=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow k\in \left[ \frac{5}{4};\frac{5}{2} \right]\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=2$ 

Vậy bước sóng cần tính là $\lambda =\frac{4l}{2k-1}=\frac{4.1,5}{2.2-1}=2m.$ Chọn B

Lời giải chi tiết

Điều kiện sóng dừng trên dây là $l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}=\left( 2k-1 \right)\frac{v}{4f}\Leftrightarrow f=\frac{\left( 2k-1 \right)v}{4l}$ 

Ban đầu, tần số ${{f}_{1}}=\frac{\left( 2{{k}_{1}}-1 \right)v}{4l}$ với sb = sn = k₁

Khi tăng tần số f thêm 3Hz, ta được tần số ${{f}_{2}}={{f}_{1}}+3=\frac{\left( 2{{k}_{2}}-1 \right)v}{4l}$ với ${{k}_{2}}={{k}_{1}}+18$ 

Do đó $\frac{\left( 2{{k}_{1}}-1 \right)v}{4l}+3=\frac{\left[ 2\left( {{k}_{1}}+18 \right)-1 \right]v}{4l}\Leftrightarrow \frac{36v}{4l}=3\Leftrightarrow v=\frac{12l}{36}=6m/s.$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Điều kiện sóng dừng trên dây với 2 đầu cố định là $l=k\frac{\lambda }{2}$ , với sb = k; sn = k + 1

Với $\lambda =\frac{v}{f}$ suy ra $l=k.\frac{v}{2f}\Leftrightarrow f=k.\frac{v}{2l}\left( * \right)$ 

Vì v, l không đổi nên lấy vi phân hai vế của (*), ta được $\Delta f=\Delta k.\frac{v}{2l}\Rightarrow v=\frac{\Delta f.2l}{\Delta k}=4m/s$ 

Vậy thời gian sóng truyền từ A ® B là $t=\frac{AB}{v}=\frac{1}{4}=0,25s.$ Chọn A

Lời giải chi tiết

Chú ý: Sử dụng công thức giải nhanh với mỗi điều kiện xảy ra sóng dừng

Với A, B là 2 nút suy ra $sb=\frac{AB}{0,5\lambda }$ và $sn=sb+1$ 

Với A, B là 2 bụng suy ra $sn=\frac{AB}{0,5\lambda }$ và $sb=sn+1$ 

Với A là nút, B là bụng suy ra $sb=sn=\frac{AB}{0,5\lambda }+0,5$ 

Ta có $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{20}{40}=0,5m$ . Bài toán cho A, B là 2 đầu cố định ứng với A, B là 2 nút

Suy ra số bụng $=\frac{AB}{0,5\lambda }=\frac{1}{0,5.0,5}=4\to $ số nút = số bụng + 1 = 5. Chọn D

Lời giải chi tiết

Để tìm số bụng, số nút ta cần tìm được bước sóng l. Tuy nhiên bài chưa cho tần số, vận tốc mà chỉ cho phương trình sóng nên dựa vào phương trình sóng tổng quát ta tìm được l.

Phương trình dao động tổng quát là $u=a\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\cos \left( \frac{2\pi }{T}t+\frac{\pi }{2} \right)$ suy ra $\frac{2\pi x}{\lambda }=0,5\pi x\Leftrightarrow \lambda =4cm$ 

Với 2 đầu A, B cố định với 2 nút suy ra $\left\{ \begin{array}{} sb=\frac{AB}{0,5\lambda } \\ {} sn=sb+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} sb=10 \\ {} sn=10+1=11 \\ \end{array} \right..$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Điều kiện xảy ra sóng dừng với hai đầu cố định là $l=k\frac{\lambda }{2}=k\frac{v}{2f}$, với sb = k

Khi có tần số f, trên dây có 3 bụng $\Rightarrow k=3\Rightarrow l=\frac{3v}{2f}\left( 1 \right)$ 

Khi tăng tần số thêm 20 Hz, trên dây có 5 bụng Þ k = 5 Þ $l=\frac{5v}{2\left( f+20 \right)}\left( 2 \right)$ 

Khi tăng tần số thêm Df, trên dây có 6 bụng $\Rightarrow k=6\Rightarrow l=\frac{6v}{2\left( f+20+\Delta f \right)}\left( 3 \right)$ 

Từ (1) (2) (3) suy ra $\frac{3v}{2f}=\frac{5v}{2\left( f+20 \right)}=\frac{6v}{2\left( f+\Delta f+20 \right)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 10f=6f+120 \\ {} 6f=3f+3\Delta f+60 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} f=30 \\ {} \Delta f=10 \\ \end{array} \right.$ 

Vậy phải tăng tần số thêm một lượng 10 Hz để trên dây có 6 bụng sóng. Chọn C

Lời giải chi tiết

Khi đầu A cố định, đầu B tự do: Điều kiện xảy ra sóng dừng là $l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ , với sn = sb = k

Vì trên dây có 8 điểm nút suy ra k = 8 và $l=\left( 2k-1 \right)\frac{v}{4f}\Leftrightarrow v=\frac{4fl}{2k-1}\left( 1 \right)$ 

Khi 2 đầu A, B cố định: điều kiện xảy ra sóng dừng trên dây là $l=k'\frac{\lambda '}{2}=k'\frac{v}{2f'}\left( 2 \right)$ 

Thay (1) vào (2) ta được $l=k'.\frac{\frac{4fl}{2k-1}}{2f'}\to f'=k'.\frac{2f}{2k-1}\Rightarrow f_{\min }^{'}=\frac{2f}{2k-1}$ 

Và $\Delta f=\left| f'-f \right|=\left| k'.\frac{2f}{2k-1}-f \right|=f\left| \frac{2\left( k'-k \right)+1}{2k-1} \right|\to \Delta {{f}_{\min }}=\frac{f}{2k-1}=\frac{12}{2.8-1}=0,8Hz.$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Theo điều kiện, để có sóng dừng cho 2 đầu là nút: $l=k\frac{\lambda }{2}=k.\frac{v}{2f}\Rightarrow l=\frac{k}{f}.\frac{v}{2}$ 

Do l, f không đổi nên buộc $\frac{n}{f}=const=$ hằng số

Khi số bó sóng k ít nhất (tức k_min = 1) thì tần số f lúc đó sẽ nhỏ nhất. Vậy ${{f}_{\min }}=\frac{v}{2l}\left( 1 \right)$ 

Theo bài ra, ta có 2 tần số gần giống nhau nhất là 200Hz và 300Hz, sẽ ứng với số bó sóng liên tiếp là

n và n + 1 nên ta có $\left\{ \begin{array}{} l=n.\frac{v}{2.200} \\ {} l=\left( n+1 \right).\frac{v}{2.300} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} \frac{l}{v}=\frac{n}{400} \\ {} \frac{l}{v}=\frac{n+1}{600} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} \frac{n}{400}=\frac{n+1}{600} \\ {} \frac{l}{v}=\frac{n}{400} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} n=2 \\ {} l=\frac{v}{200} \\ \end{array} \right.\left( 2 \right)$ 

Từ (1) và (2) ta được f_min = 100Hz. Chọn B

Chú ý: Đây là dạng bài toán đặc biệt, có 2 tần số liên tiếp mà tỉ số tần số của chúng là 2 số nguyên liên tiếp $\frac{{{f}_{1}}}{{{f}_{2}}}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$ thì tần số nhỏ nhất vẫn tạo ra sóng dừng trên dây là ${{f}_{\min }}=\left| {{f}_{1}}-{{f}_{2}} \right|=100Hz$ 

Tương tự, nếu 2 tần số gần nhau nhất là f₁, f₂ có thương số $\frac{{{f}_{2}}}{{{f}_{1}}}=\frac{a}{b}$ với a, b là 2 số lẻ liên tiếp thì tần số nhỏ nhất vẫn tạo ra sóng dừng trên dây là ${{f}_{\min }}=\frac{\left| {{f}_{1}}-{{f}_{2}} \right|}{2}$ 

Lời giải chi tiết

Điều kiện xảy ra sóng dừng với một đầu tự do, một đầu cố định là ${{f}_{\min }}=\frac{v}{4l}$ 

Khi tăng chiều dài sợi dây thêm 1m suy ra ${{f}_{1\min }}=5=\frac{v}{4\left( l+1 \right)}\left( 1 \right)$ 

Khi giảm chiều dài sợi dây đi thêm 1m suy ra ${{f}_{2\min }}=20=\frac{v}{4\left( l-1 \right)}\left( 2 \right)$ 

Từ (1) (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{} v=20\left( l+1 \right) \\ {} v=80\left( l-1 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} v-20l=20 \\ {} v-80l=-80 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} v=\frac{160}{3} \\ {} l=\frac{5}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{v}{4l}=8Hz.$ Chọn D

Lời giải chi tiết

Nam châm điện có tần số 25 Hz nên tần số trên sợi dây là $f=2.25=50Hz$ 

Điều kiện xảy ra sóng dừng với một đầu cố định, một đầu tự do $l=\left( 2k-1 \right)\frac{\lambda }{4}$ , với sb = sn = k

+) Với chiều dài l, trên dây có 9 bụng sóng $\Rightarrow l=\left( 2.9-1 \right)\frac{\lambda }{4}=\frac{17\lambda }{4}\left( 1 \right)$ 

+) Khi cắt bớt dây đi 1 đoạn 21cm, trên dây có 6 bụng sóng $\Rightarrow l-21=\left( 2.6-1 \right)\frac{\lambda }{4}=\frac{11\lambda }{4}\left( 2 \right)$ 

Từ (1) (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{} 4l=17\lambda  \\ {} 4\left( l-21 \right)=11\lambda  \\ \end{array} \right.\Rightarrow \lambda =14cm$ 

Vậy $v=\lambda .f=50.14=700cm/s=7m/s.$ Chọn B

Dạng 2: Bài toán về biên độ sóng dừng

Lời giải chi tiết

+) Các điểm liên tiếp cách đều nhau dao động cùng biên độ thì hoặc là điểm bụng hoặc là điểm cách nút đoạn $\frac{\lambda }{8}$ suy ra $4\sqrt{2}=\frac{A\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A=8cm$ (A là biên độ của bụng)

+) Khoảng cách giữa 2 điểm liên tiếp có biên độ $\frac{A\sqrt{2}}{2}$ là $\frac{\lambda }{4}$ , do đó 8 điểm liên tiếp sẽ có $7.\frac{\lambda }{4}$ nên 

$7.\frac{\lambda }{4}=1,4\Rightarrow \lambda =80cm\Rightarrow f=0,5Hz\Rightarrow \omega =\pi rad/s\Rightarrow {{v}_{\max }}=\omega A=8\pi cm/s.$Chọn C

Lời giải chi tiết

Các điểm P, Q, H, K có cùng biên độ dao động và các đều nhau PQ = QH = HK = 12 cm

Mặt khác, theo tính chất của sóng dừng trên dây, ta có $PH=\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \lambda =2PH=48cm$ 

Từ công thức tính biên độ sóng dừng $A=2a\left| \cos \left( 2\pi \frac{d}{\lambda }+\frac{\pi }{2} \right) \right|$ 

+) Tại nút thì biên độ bằng 0 suy ra $d=k\frac{\lambda }{2}$ 

+) Điểm H’ cách nút N một khoảng $NH'=\frac{QH}{2}=\frac{\lambda }{8}$ 

Vậy tại H’ có $d=k\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{8},$ thay giá trị này vào biểu thức tính biên độ ta được

$A=2a\left| \cos \left( 2\pi \left[ \left( k\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{8} \right):\lambda  \right]+\frac{\pi }{2} \right) \right|=2a\left| \cos \left( k\pi +\frac{3\pi }{4} \right) \right|=2a.\frac{\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$ Chọn A

Lời giải chi tiết

Nhận xét: Điểm bụng là điểm dao động với tốc độ cực đại nên để tìm tốc độ dao động của bụng ta tìm biên độ bụng. Cụ thể:

• Gọi x là khoảng cách từ N đến nút gần nhất và

x' là khoảng cách từ đến điểm bụng gần nhất.

• Ta có $x+x'=0,25\lambda \Leftrightarrow \frac{MN}{2}+\frac{NP}{2}=0,25\lambda =15\Leftrightarrow \lambda =60cm$ 

• Biên độ dao động của điểm bụng là ${{A}_{N}}={{A}_{\max }}\left| \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda } \right) \right|\Rightarrow 4={{A}_{\max }}\sin \frac{2\pi .5}{60}\Rightarrow {{A}_{\max }}=8$ 

Vậy tốc độ của điểm bụng là ${{v}_{\max }}=\omega {{A}_{\max }}=80cm/s.$ Chọn C

Lưu ý: Có thể tính biên độ của điểm bụng bằng cách chọn x’ với ${{A}_{N}}={{A}_{\max }}\left| \cos \left( \frac{2\pi x'}{\lambda } \right) \right|$ 

Lời giải chi tiết

Điều kiện xảy ra sóng dừng là $l=k\frac{\lambda }{2}\to 25=5.\frac{\lambda }{2}\Leftrightarrow \lambda =