Bài tập Tích phân đặc biệt có đáp án chi tiết và cách giải

Bài tập Tích phân đặc biệt có đáp án chi tiết và cách giải

Một số dạng tích phân đặc biệt

@ Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=2\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}$

@ Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx=0}$

@ Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ -a;a \right]$thì $\int\limits_{-a}^{a}{\frac{f(x)}{{{m}^{x}}+1}dx=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}$

@ Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$thì $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(\operatorname{s}\text{inx})dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(cosx)dx}}$

Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau:

Ø Với $I=\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $x=-t$

Ø Với $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=\frac{\pi }{2}-x$

Ø Với $I=\int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=\pi -x$

Ø Với $I=\int\limits_{0}^{2\pi }{f(x)dx}$ta có thể lựa chọn việc đặt $t=2\pi -x$