Bài tập tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết – chia dạng và cách giải

Bài tập trắc nghiệm tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Do f(x) là hàm số lẻ nên $\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=0$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{-1}{f(x)dx}=10$Chọn D.

Lời giải chi tiết

Do f(x) là hàm số chẵn nên $I=\int\limits_{-3}^{3}{f(x)dx}=2\int\limits_{-3}^{0}{f(x)dx}=2\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}=2.2=4$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$và đổi cận  $\left| \begin{array}  {} x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\  {} x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

Khi đó $I=-\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}{\frac{{{(-t)}^{2}}+cos(-t)}{1+{{3}^{-t}}}dt=}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{t}^{2}}+\cos t}{\frac{{{3}^{t}}+1}{{{3}^{t}}}}dt}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{x}^{2}}+\operatorname{cosx}}{1+{{3}^{x}}}{{3}^{x}}dx}$

$\Rightarrow 2I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{({{x}^{2}}+\operatorname{cosx})dx}\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+\operatorname{s}\text{inx} \right) \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{{\pi }^{3}}}{24}+1\Rightarrow a=\frac{1}{24};b=0;c=1$

Do đó $S=\frac{4}{3}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\pi -x\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x\sin \text{x}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -t)\sin (\pi -t)}{1+{{\cos }^{2}}(\pi -t)}(-dt)=}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -t)\operatorname{sint}}{1+{{\cos }^{2}}t}}dt=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{(\pi -x)\operatorname{sinx}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}$

Khi đó $2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\sin \text{x}dx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{-d(\cos x)}{1+{{\cos }^{2}}x}}=-\pi \int\limits_{1}^{-1}{\frac{du}{1+{{u}^{2}}}}\xrightarrow{v=\tan u}-\pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{4}}{du=}\frac{{{\pi }^{2}}}{2}$

Do đó $I=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{4};b=c=0\Rightarrow S=\frac{1}{4}$. Chọn C.