Bài tập tính tích có hướng giữa 2 vecto có đáp án chi tiết trong không gian oxyz

Bài tập tính tích có hướng giữa 2 vecto có đáp án trong không gian oxyz

Bài tập về cách xác định tích có hướng của 2 vecto trong không gian oxyz có đáp án

Lời giải chi tiết:

a) $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\left( \left| \begin{matrix}   0 {} -2  \\   1 {} 3  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   -2 {} 1  \\   3 {} 0  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   1 {} 0  \\   0 {} 1  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( 2;-3;1 \right).$

b) $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\left( \left| \begin{matrix}   1 {} -1  \\   1 {} -2  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   -1 {} 3  \\   -2 {} 2  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   3 {} 1  \\   2 {} 1  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( -1;4;1 \right).$

c) $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\left( \left| \begin{matrix}   1 {} 4  \\   -1 {} 2  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   4 {} -3  \\   2 {} 1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}   -3 {} 1  \\   1 {} -1  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( 6;10;2 \right).$

d) $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\left( -4;13;-7 \right).$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\left( -2;m+2;m+6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}=-2+2m+4+m+6=3m+8$

Ba vectơ $\overrightarrow{u};\,\,\overrightarrow{v};\,\,\overrightarrow{w}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow 3m+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{8}{3}.$

b) Ta có: $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\left( 2m-3;6-m;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}=4m-6+6m-{{m}^{2}}-3=-{{m}^{2}}+10m-9$

Để 3 vectơ $\overrightarrow{u};\,\,\overrightarrow{v};\,\,\overrightarrow{w}$ không đồng phẳng thì $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}\ne 0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+10m-9\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m\ne 1 \\  {} m\ne 9 \\ \end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2;1;1);\,\overrightarrow{\,AC}=(-2;1;-1);\overrightarrow{\,AD}=(1;-1;-3).$

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-2;-4;0)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=2\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng

Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Thể tích tứ diện  ABCD là: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{1}{3}\,\,(vtt).$

Lại có: $\overrightarrow{BC}=(0;0;-2);\,\,\overrightarrow{BD}=(3;-2;-4)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(-4;-6;0)$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta BCD}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right] \right|=\sqrt{13}\Rightarrow d(A,(BCD))=\frac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;-5;-8);\overrightarrow{\,AC}=(5;-6;-11);\,\,\overrightarrow{AD}=(7;-8;-15)$ và $\overrightarrow{CD}=(2;-2;-4)$

Do $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(7;-7;7)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow \overrightarrow{AB};\overrightarrow{\,AC};\overrightarrow{\,AD}$ đồng phẳng    (1)

Mặt khác $\overrightarrow{AB}\ne k.\overrightarrow{CD}\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không cùng phương    (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=(7;-3;-5)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}=7\ne 0\Rightarrow 3$ vectơ $\overrightarrow{u};\,\,\overrightarrow{v};\,\,\overrightarrow{w}$ không đồng phẳng.

b) Giả sử $\overrightarrow{a}=m.\overrightarrow{u}+n.\overrightarrow{v}+p.\overrightarrow{w}\Leftrightarrow (-4;-12;3)=(3m;7m;0)+(2n;3n;n)+(3p;-2p;4p)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 3m+2n+3p=-4 \\  {} 7m+3n-2p=7 \\  {} n+4p=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=-5 \\  {} n=7 \\  {} p=-1 \\ \end{array} \right..$ Vậy $\overrightarrow{a}=-5.\overrightarrow{u}+7.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}.$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0);\,\,\overrightarrow{AC}=(0;-1;2);\,\,\overrightarrow{AD}=(0;0;1)$

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=(3;2;1).(0;0;1)=1\Rightarrow \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{AC};\,\,\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng

Do đó 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Thể tích tứ diện ABCD là: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{1}{6}.$

b) Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{14}}{2};\,\,{{S}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\frac{1}{2}.$

${{S}_{\Delta ADB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB} \right] \right|=\frac{\sqrt{2}}{2};\,\,{{S}_{\Delta BCD}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right] \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

c) Ta có $V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow h=\frac{3V}{S}.$ Gọi ${{h}_{A}};\,\,{{h}_{B}};\,\,{{h}_{C}};\,\,{{h}_{D}}$ lần lượt là độ dài đường cao hạ từ A, B, C, D của tứ diện thì ta có: ${{h}_{A}}=\frac{3V}{{{S}_{BCD}}}=\frac{\sqrt{3}}{3};\,\,{{h}_{B}}=\frac{3V}{{{S}_{ACD}}}=1;\,\,{{h}_{C}}=\frac{3V}{{{S}_{ABD}}}=\frac{1}{\sqrt{2}};\,\,{{h}_{D}}=\frac{3V}{{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{\sqrt{14}}.$

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;0;1);\,\,\overrightarrow{AC}=(1;1;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-1;2;-1)\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{AC}$ không cùng phương hay 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

b) Ta có: ${{h}_{A}}=\frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{5}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $D(0;y;0)\in Oy$ ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;-1;2);\,\,\overrightarrow{AD}=(-2;y-1;1);\,\,\overrightarrow{AC}=(0;-2;4)$

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(0;-4;-2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=-4(y-1)-2=-4y+2$

Do ${{V}_{ABCD}}=5\Rightarrow \frac{1}{6}.\left| -4y+2 \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} y=-7 \\  {} y=8 \\ \end{array} \right..$

Vậy $D\,(0;-7;0)$ hoặc $D\,(0;8;0).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\text{VT}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}{{\cos }^{2}}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}\left( 1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) \right)={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}.{{\sin }^{2}}\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$

Lại có: $\left| \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right] \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\sin \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$

Do đó ${{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right] \right|}^{2}}\,$ (đpcm).

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\left( 5m;2m-{{m}^{2}};-m-8 \right)$

Ba vectơ đã cho đồng phẳng khi $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right].\overrightarrow{c}=0\Leftrightarrow 5m+4m-2{{m}^{2}}-m-8=0$

$\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+8m-8=0\Leftrightarrow m=2.$

Do đó tập hợp S có một phần tử. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=(2x-3;x+1;-5)$

Do đó $\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right] \right|=\sqrt{{{(2x-3)}^{2}}+{{(x+1)}^{2}}+25}=30\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-10x+5=0\Leftrightarrow x=1.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

$\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=(x+2;-1;2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right].\overrightarrow{w}={{x}^{2}}+2x-7+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right..$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Do $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)={{45}^{o}}\Rightarrow \left( 5\overrightarrow{u},-3\overrightarrow{v} \right)={{135}^{o}}.$

Ta có: $\left| \left[ 5\overrightarrow{u},-3\overrightarrow{v} \right] \right|=\left| 5\overrightarrow{u} \right|.\left| -3\overrightarrow{v} \right|.\sin \left( 5\overrightarrow{u},-3\overrightarrow{v} \right)=5\sqrt{2}.9.\sin {{135}^{0}}=45.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2;-1;3);\,\,\overrightarrow{AC}=(2;-1;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(2;8;4).$

Vậy diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\sqrt{21}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1);\,\,\overrightarrow{AC}=(-1;0;0);\,\,\overrightarrow{AD}=(1;3;6)$

Lại có: $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 0;-1;-1 \right)\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{3}{2}.$

Mặt khác: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{d}_{(D;(ABC))}}={{h}_{D}}=\frac{3V}{{{S}_{ABC}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2;6;-4);\,\,\overrightarrow{AC}=(m;m-1;-1)$

Khi đó $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(4m-10;2+4m;-8m+2)$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{(4m-10)}^{2}}+{{(2+4m)}^{2}}+{{(-8m+2)}^{2}}}=3\sqrt{3}.$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{(2m-5)}^{2}}+{{(1+2m)}^{2}}+{{(-4m+1)}^{2}}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow 24{{m}^{2}}-24m+27=27\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=1 \\  {} m=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(0;1;-2);\overrightarrow{BD}=(3;1;-4)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(-2;-6;-3)$

Lại có: $\overrightarrow{BA}=(m;m;2m-3)\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right].\overrightarrow{BA} \right|=\frac{1}{6}\left| -2m-6m-6m+9 \right|$

$=\frac{1}{6}\left| -14m+9 \right|=\frac{5}{6}\Leftrightarrow \left| 9-14m \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=1 \\  {} m=\frac{2}{7} \\ \end{array} \right..$ Chọn B.

Lời giải:

Do điểm $D\in Oz\Rightarrow D\,(0;0;d)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-2;6;-4);\,\,\overrightarrow{AC}=(1;0;-1);\,\,\overrightarrow{AD}=(-1;-1;d-1)$

Để bốn điểm A, B, C, D đổng phẳng thì $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=0$

$\Leftrightarrow (-6;-6;-6).(-1;-1;d-1)=0\Leftrightarrow 6+6-6d+6=0\Leftrightarrow d=3\Rightarrow D\,(0;0;3).$ Chọn B.

Lời giải:

Gọi $H\,(a;b;c)$ là trực tâm tam giác ABC thì $\overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{AC};\,\,\overrightarrow{AH}$ đồng phẳng

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-2;2;-2)=-2(1;-1;1);\,\,\overrightarrow{AC}=(-1;1;1);$

$\overrightarrow{CH}=(a;b-1;c-4);\,\,\overrightarrow{BH}=(a+1;b-2;c-1);\,\,\overrightarrow{AH}=(a-1;b;c-3)$

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(4;4;0)=4(1;1;0)$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]\overrightarrow{AH}=0 \\  {} \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0 \\  {} \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a+b-1=0 \\  {} a-b+1+c-4=0 \\  {} -a-1+b-2+c-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=\frac{1}{4} \\  {} b=\frac{3}{4} \\  {} c=\frac{7}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow P=-\frac{1}{2}.$ Chọn B.

Lời giải:

Vì $D\in (Oyz)\Rightarrow D\,(0;b;c),$do cao độ âm nên c < 0.

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng $\left| c \right|$ và bằng 1 $\Rightarrow \left| c \right|=1\Rightarrow c=-1$ (do c < 0)$\Rightarrow D\,(0;b;-1).$

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}=(1;-1;-2) \\  {} \overrightarrow{AC}=(-4;2;2) \\  {} \overrightarrow{AD}=(-2;b;1) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(2;6;-2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=-4+6b-2=6b-6=6(b-1)$

$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\left| b-1 \right|$

Mặt khác ${{V}_{ABCD}}=2\Leftrightarrow \left| b-1 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} b=3 \\  {} b=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} D\,(0;3;-1) \\  {} D\,(0;-1;-1) \\ \end{array} \right..$ Chọn A.