Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án.

Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn

Chú ý tính chất: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}du$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}d\left( 3x \right)\xrightarrow{t=3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( t \right)}dt=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=\frac{12}{3}=4.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=1  \\   x=3\Rightarrow t=2  \\\end{matrix} \right..$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=2}\int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=8}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{x.f\left( x \right)dx=4.}}$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{4}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=}\int\limits_{4}^{9}{2f\left( \sqrt{x} \right)d}\left( \sqrt{x} \right)\xrightarrow{t=\sqrt{x}}\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=a\Rightarrow }\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=\frac{a}{2}}$

Do đó $\int\limits_{2}^{3}{2f\left( x \right)dx=\frac{a}{2}}.$

Lại có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}d\left( 2x \right)\xrightarrow{u=2x}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}d\left( u \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=b$

Do đó $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=2b\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)}dx=2b+\frac{a}{2}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).\cos 3xdx=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).d\left( \sin 3x \right)}\xrightarrow{t=\sin 3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right).dt=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}1$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}3$

Lại có: $\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}.f\left( {{e}^{x}} \right)}dx=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( {{e}^{x}} \right)}d\left( {{e}^{x}} \right)\xrightarrow{u={{e}^{x}}}\int\limits_{1}^{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3$

Do đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

$A=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x}f}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx$

Đặt $t={{\sin }^{2}}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx,$ đổi cận suy ra $A=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( t \right)}{2t}dt}=1\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=2.$

Mặt khác $B=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1\xrightarrow{u=\sqrt{x}}\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{{{u}^{2}}}}2udu\Rightarrow B=2\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{u}}du=1\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=\frac{1}{2}$

Xét $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx\xrightarrow{v=4x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{\frac{v}{4}}}.\frac{dv}{4}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{v}}dv=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=A+B=\frac{5}{2}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}-\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}\xrightarrow{t=1-x}-\int\limits_{1}^{0}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$

$\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}2\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin udu=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$

$\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)d\left( \sin 2x \right)=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( v \right)dv=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$

$2\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( z \right)dz}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}.$

Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=0  \\   x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)}{{{\tan }^{2}}t+1}.}\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}b$

Suy ra $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right).f\left( \tan x \right)dx}$

$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{f\left( \tan x \right)dx}{{{\cos }^{2}}x}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)d\left( \tan x \right)=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$

Do đó $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=a+b.$ Chọn A.