Bài tập trắc nghiệm Tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm Tỉ số thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết

Bài tập tính thể tích khối lặng trụ sử dụng công thức simson có đáp án

Lời giải chi tiết

Ta có $V={{S}_{ABCD}}.A{A}'$ và ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABD}}.A{A}'$

Mà ${{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{V}{{{V}_{1}}}=6$

Suy ra $V=6{{V}_{1}}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'$ và ${{V}_{{B}'BAD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta BAD}}.B{B}'.$

Mà ${{S}_{\Delta BAD}}=\frac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}\xrightarrow[{}]{}k=\frac{{{V}_{{B}'BAD}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{1}{6}.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi E là trung điểm của BC $\Rightarrow \frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$

Qua G kẻ đường thẳng $d//BC,$ cắt AB, AC lần lượt tại M, N. 

$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ (định lí Talet)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   AM=\frac{2}{3}AB  \\   AN=\frac{2}{3}AC  \\\end{matrix}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{4}{9}{{S}_{\Delta ABC}} \right.$                            (1).

Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'$ và ${{V}_{{A}'.AMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.AA'$               (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{V}_{{A}'.AMN}}=\frac{4}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{BMNC,{A}'{B}'{C}'}}=\frac{23}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$

Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{4}{27}:\frac{23}{27}=\frac{4}{23}.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$.

Suy ra $H{C}'$ là hình chiếu của $A{C}'$ trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$.

Do đó $\widehat{\left( A{C}';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( A{C}';H{C}' \right)}=\widehat{AH{C}'}=60{}^\circ $

Tam giác $AH{C}'$, có $AH=A{C}'\sin \widehat{A{C}'H}=2\sqrt{3}$

Diện tích tam giác ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{A{{C}^{2}}}{2}=4$

Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AH=8\sqrt{3}$

Ta có ${{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}.AH=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$

Suy ra ${{V}_{ABC{C}'{B}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{A.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $V={{V}_{A{B}'{D}'{C}'}}+\left( {{V}_{A{A}'{B}'{D}'}}+{{V}_{C{C}'{B}'{D}'}}+{{V}_{{D}'DAC}}+{{V}_{{B}'BAC}} \right).$

Mà ${{V}_{A{A}'{B}'{D}'}}={{V}_{C{C}'{B}'{D}'}}={{V}_{{D}'DAC}}={{V}_{{B}'BAC}}=\frac{V}{6}.$

Suy ra ${{V}_{A{B}'{D}'{C}'}}=\frac{V}{3}.$

Từ gia thiết, ta có $\frac{A{B}'}{AN}=\frac{1}{3};\frac{AC}{AM}=\frac{1}{2};\frac{A{D}'}{AP}=\frac{1}{4}.$

Ta có $\frac{{{V}_{A.{B}'{D}'{C}'}}}{{{V}_{A.NPM}}}=\frac{A{B}'}{AN}.\frac{A{D}'}{AP}.\frac{AC}{AM}=\frac{1}{24}.$

$\xrightarrow{{}}{{V}_{A.NPM}}=24{{V}_{A.{B}'{D}'{C}'}}=24.\frac{V}{3}=8V.$ Chọn A.

Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng $\frac{1}{3}$của khối lăng trụ tam giác.

Lời giải chi tiết

Gọi V là thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.

Do $A{A}'//B{B}'\Rightarrow {{V}_{M.BC{B}'{C}'}}={{V}_{{A}'.BC{C}'{B}'}}=V-{{V}_{{A}'.ABC}}=V-\frac{V}{3}=\frac{2V}{3}$

Dựng $AH\bot BC$ mà $A{A}'\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( {A}'HA \right)$

Do đó $\widehat{\left( {A}'BC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{{A}'HA}=30{}^\circ \Rightarrow AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}.$

Khi đó $A{A}'=AH.\tan 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{9{{a}^{3}}}{8}.$

Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{M.BC{C}'{B}'}}=2\frac{V}{3}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Công thức giải nhanh ${{V}_{ABC.MNP}}=\left( \frac{m+n+p}{3} \right)V$ với $m=\frac{AM}{A{A}'},n=\frac{BN}{B{B}'},p=\frac{CP}{C{C}'}.$

Áp dụng với: $m=\frac{1}{2};n=\frac{2}{3};p=\frac{2}{3},$ ta được ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{11}{18}V$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính nhanh, ta được

$\frac{{{V}_{AMNPBCD}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{BM}{B{B}'}+\frac{DP}{D{D}'} \right)=\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{8}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMNPBCD}}=\frac{3}{8}.{{\left( 2a \right)}^{3}}=3{{a}^{3}}$. Chọn B

Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng $\left( CD{D}'{C}' \right),$kẻ $MN//{C}'D.$ Suy ra $CN=\frac{1}{4}CD$ và ${{V}_{1}}$ là khối đa diện $AB{B}'NCM.$

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó ${{V}_{AB{B}'.NCM}}={{V}_{AB{B}'CM}}+{{V}_{MACN}}.$

• ${{V}_{AB{B}'CM}}=\frac{0+\frac{1}{4}+1}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{5}{12}.\left( \frac{1}{2}V \right)$
• ${{V}_{MACN}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{V}_{{C}'.ADC}}=\frac{1}{16}.\left( \frac{1}{3}{{V}_{ADC.{A}'{D}'{C}'}} \right)=\frac{1}{96}V.$

Vậy ${{V}_{1}}={{V}_{ABCM{B}'}}+{{V}_{MACN}}=\frac{7}{32}V\xrightarrow{{}}{{V}_{2}}=\frac{25}{32}\xrightarrow{{}}\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}.$Chọn C

Nhận xét: Ta có ${{V}_{MACN}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{V}_{{C}'.ADC}}$ vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần

Lời giải chi tiết

Ta có ${{V}_{ADMN}}={{V}_{M.ADN}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta AMD}}$

Lại có $d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=d\left( {A}';\left( ABCD \right) \right)=A{A}'$

Và ${{S}_{\Delta AMD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ABN}}-{{S}_{\Delta CDN}}={{S}_{ABCD}}-\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$

Do đó ${{V}_{ADMN}}=\frac{1}{3}.A{A}'.\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{6}A{A}'.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}{6}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{matrix}   CD\bot D{D}'  \\   CD\bot AD  \\\end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)\Rightarrow CD\bot {A}'D. \right.$

Suy ra ${{S}_{\Delta {A}'CD}}=\frac{1}{2}.{A}'D.CD=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{13}}{2}\xrightarrow{{}}{A}'D=a\sqrt{13}$

Do đó $A{A}'=\sqrt{{A}'{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{13} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=3a.$

Thể tích của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V=A{A}'.AB.AD=6{{a}^{3}}$.

Lại có ${{V}_{{A}'.BC{C}'{B}'}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\frac{1}{3}.6{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Lý thuyết bổ sung:

Cho hình chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao h, ${{S}_{1}}$ là diện tích tam giác ABC, ${{S}_{2}}$ là diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}'.$ Thể tích khối chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $$

Qua M kẻ đường thẳng $d//BD,$ cắt AD  tại N

Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( M{B}'{D}' \right)$ là $MN{D}'{B}'$

Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}+{{V}_{{B}'{C}'{D}'.MBCDN}}$

Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$

Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có

${{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}A{A}'.\left( {{S}_{\Delta AMN}}+{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}+\sqrt{{{S}_{\Delta AMN}}.{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}} \right)$

Mà $\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{9}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{S}{18}.$

Và ${{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}=\frac{S}{2}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}h\left( \frac{S}{18}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{18}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{13}{54}V$

Vậy tỉ số thể tích cần tính là $\frac{13}{54}:\left( 1-\frac{13}{54} \right)=\frac{13}{41}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Tham khảo hình vẽ dưới đây:

Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$

Nối $I{C}'$ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.

Suy ra $mp\left( DI{C}' \right)$ chia khối lập phương thành hai khối $IBM.{C}'CD$ và $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$

Vì M là trung điểm của AB mà $BM//CD\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}.$

Ta có $BI//C{C}'\Rightarrow \frac{IB}{C{C}'}=\frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta IBM}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta BA{B}'}}=\frac{1}{8}{{S}_{AB{B}'{A}'}}$

Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được

${{V}_{IBM.{C}'CD}}=\frac{1}{3}BC.\left( {{S}_{\Delta IBM}}+{{S}_{\Delta {C}'CD}}+\sqrt{{{S}_{\Delta IBM}}.{{S}_{\Delta {C}'CD}}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( \frac{S}{8}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{7}{24}.Sh$

Do đó, thể tích khối $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$ là ${{V}_{IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'}}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.$

Vậy tỉ số cần tính là $\frac{7}{24}:\frac{17}{24}=\frac{7}{17}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{V}_{C.ABNM}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{1}{3}.$

Suy ra ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{C.ABNM}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Lại có ${{V}_{C.{C}'PQ}}={{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}$

$\Rightarrow {{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}={{V}_{C.{C}'PQ}}-\frac{2}{3}.$ Mà ${{S}_{\Delta {C}'PQ}}=4{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}$

$\Rightarrow {{V}_{C.{C}'PQ}}=4{{V}_{{C}'.{A}'{B}'{C}'}}=4.\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{4}{3}.$

Vậy ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$ Chọn D.