Bài tập trắc nghiệm tích phân cơ bản (dùng công thức) có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm tích phân cơ bản (dùng công thức) có đáp án chi tiết

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tích phân cơ bản có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

1. a) $I=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}d\left( 2-{{x}^{2}} \right)}=-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( 2-{{x}^{2}} \right)=}-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left. {{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \right|_{0}^{1}$

$=-\frac{1}{3}\left. \sqrt{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{3}}} \right|_{0}^{1}=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$

1. b) $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+x}{{{x}^{2}}+x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x}dx}=\int\limits_{1}^{2}{dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left( {{x}^{2}}+x \right)}{{{x}^{2}}+x}dx}=1+\left. \ln \left| {{x}^{2}}+x \right| \right|_{1}^{2}=1+\ln \frac{5}{3}$
2. c) $I=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+{{e}^{3x-1}} \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{e}^{3x-1}}}{3} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{{{e}^{2}}}{3}-\frac{1}{3e}$
3. d) $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{1+\cos x}dx}=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\left( \cos x \right)}{1+\cos x}=\left. -\ln \left| 1+\cos x \right| \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}}=\ln 2$

Lời giải chi tiết

1. a) $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right)dx}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+3} \right)\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \right)}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}{3}}dx$

$=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x+3 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( x+3 \right)-}\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{3}{{{x}^{\frac{1}{2}}}dx}=\left. \left[ \frac{2}{9}\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}-\frac{2}{9}\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{1}^{2}=\frac{2}{9}\left( 5\sqrt{5}-2\sqrt{2}-7 \right)$

1. b) $I=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}d\left( {{e}^{x}}-1 \right)}=\left. \frac{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{0}^{\ln 2}=\frac{1}{3}$
2. c) $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left. \sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}} \right|_{0}^{\sqrt{3}}=\frac{7}{3}$
3. d) $I=\int\limits_{0}^{3}{3x\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+16} \right)dx}=\int\limits_{0}^{3}{3{{x}^{2}}dx}+3\int\limits_{0}^{3}{x\sqrt{{{x}^{2}}+16}dx}=\left. \left( {{x}^{3}}+\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+16 \right)}^{3}}} \right) \right|_{0}^{3}=88.$

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{2}^{3}{\frac{x}{{{x}^{2}}-1}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{3}{\frac{d\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{{{x}^{2}}-1}}=\frac{1}{2}\left. \ln \left| {{x}^{2}}-1 \right| \right|_{2}^{3}=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{3}=\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=\frac{3}{2} \\  {} b=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Suy ra $S=4.\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=5$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $3F\left( a \right)-2=3F\left( b \right)\Leftrightarrow 3\left[ F\left( b \right)-F\left( a \right) \right]=-2\Leftrightarrow F\left( b \right)-F\left( a \right)=\frac{-2}{3}$

Do đó $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right)=-\frac{2}{3}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{-3}^{2}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{-3}^{2}{f\left( y \right)dy=}2;\int\limits_{-3}^{5}{f\left( t \right)dt=\int\limits_{-3}^{5}{f\left( y \right)dy=4}}$ (tích phân không phụ thuộc vào biến)

Lại có: $\int\limits_{-3}^{2}{f\left( y \right)dy+\int\limits_{2}^{5}{f\left( y \right)dy=}}\int\limits_{-3}^{5}{f\left( y \right)dy\Rightarrow I=4-2=2}$ . Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=\int\limits_{1}^{2}{2xdx}+\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)dx}=\left. {{x}^{2}} \right|_{1}^{2}+f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=3+4=7$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+2\sin x \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=\left. \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}-2\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=7$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $I=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ x+2f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{2}{xdx}+2\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}-3\int\limits_{-1}^{2}{g\left( x \right)dx}$

$=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-1}^{2}+2.2-3.\left( -1 \right)=2-\frac{1}{2}+4+3=\frac{17}{2}$ . Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{3}{x+3}-\frac{10}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}} \right)d\left( x+3 \right)=\left. \left( 3\ln \left| x+3 \right|+\frac{10}{x+3} \right) \right|}_{0}^{1}=3\ln \frac{4}{3}-\frac{5}{6}$

Do đó $a=4;b=3;c=5\Rightarrow a-b=5c$ . Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 1-\frac{6}{x+2}+\frac{9}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \right]}dx=\left. \left( x-6\ln \left| x+2 \right|-\frac{9}{x+2} \right) \right|_{0}^{1}$

$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \frac{x-1}{x+2} \right)}^{2}}}dx=\frac{5}{2}+6\ln 2-6\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=\frac{5}{2} \\  {} b=6,c=-6 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2\left( a+b+c \right)=5 \\  {} 2\left( a+b-c \right)=29 \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $f\left( x \right)=a.\sin \left( \pi x \right)+b\to {f}'\left( x \right)=a.\pi .cos\left( \pi x \right)\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=-a.\pi =2\Leftrightarrow a=-\frac{2}{\pi }$

Mà $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=4}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left[ a.\sin \left( \pi x \right)+b \right]dx=\left. \left( b.x-\frac{\cos \left( \pi x \right)}{a.\pi } \right) \right|}_{0}^{2}=2b=4\Rightarrow b=2$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)dx=f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=3}$$\left( 1 \right)$

Lại có $\int\limits_{1}^{2}{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{f\left( x \right)}=}\ln }\left. \left[ f\left( x \right) \right] \right|_{1}^{2}=\ln \left[ f\left( 2 \right) \right]-\ln \left[ f\left( 1 \right) \right]=\ln \frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 1 \right)}=\ln 2$

Do đó $\frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 1 \right)}={{e}^{\ln 2}}=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2f\left( 1 \right)$         (2)

Từ (1) và (2) suy ra $f\left( 2 \right)=6;f\left( 1 \right)=3$ . Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)}}$

Lại có $\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)=1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$

$\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x-1}} \right)}}dx=2\left( \int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{2\sqrt{x}}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{d\left( x+1 \right)}{2\sqrt{x+1}}}} \right)$

$=\left. \left( 2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1} \right) \right|_{1}^{2}=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\Rightarrow a=32;b=12;c=2$

Vậy $a+b+c=46$ . Chọn D.