Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết

Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết

Dưới đây là một số bài tập viết phương trình mặt phăng theo đoạn chắn có đáp án

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$cắt các trục $Oy$; $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( \alpha  \right)$đi qua điểm$M\left( 0;2;-1 \right)$ nên $\frac{2}{b}-\frac{1}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{2}{b}-1=\frac{2-b}{b}\Rightarrow c=\frac{b}{2-b}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3\left| bc \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| bc \right|=1$

Khi đó: $\left| b.\frac{b}{2-b} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{b}^{2}}=2-b \\  {} {{b}^{2}}=b-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} b=1 \\  {} b=-2 \\ \end{array} \right.$

Với $b=1\Rightarrow c=1\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$

Với $b=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-2z=1$

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0\Rightarrow -1+\frac{2}{b}=0\Rightarrow b=2$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AC}\left( 1;0;c \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$

Suy ra $\left( ABC \right):-x+\frac{y}{2}\pm \frac{z}{1}=1$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( xOy \right):z=0\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-5+2t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;0 \right)$

Do $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $\Delta \Rightarrow \left( Q \right)$ qua điểm $\left( 0;-5;0 \right)$

Giả sử $\left( Q \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{c}=1$$\left( a;c\ne 0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( \frac{1}{a};-\frac{1}{5};\frac{1}{c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{5}=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| abc \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow \frac{1}{6}\left| \frac{5}{2}.5.c \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow c=\pm \frac{5}{3}\Rightarrow \left( ABC \right):\frac{2}{5}x-\frac{y}{5}\pm \frac{3}{5}z=1$

Hay $2x-y\pm 3z-5=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ là giao điểm của $\left( P \right)$ với các trục tọa độ

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( abc\ne 0 \right)$

Do $\left( P \right)$ đi qua các điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\  {} \frac{-1}{a}-\frac{1}{c}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} \frac{2}{b}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} b=1 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+4+1=3\left[ \left( 1+{{b}^{2}}+1 \right) \right]=9$

$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=3\Rightarrow c=\frac{-3}{4} \\  {} a=-1\Rightarrow \frac{1}{c}=0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Khi đó $\left( P \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{4z}{3}=1$ hay $\left( P \right):x+3y-4z-3=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a>0;b>0;c0;b>0;c<0$

Do $8.OA=12.OB+16=37.OC\Rightarrow 8a=12b+16=-37c$

Ta có: $8a=12b+16=-37c\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{\frac{8a-16}{12}}+\frac{4}{-\frac{8}{37}a}=1\Leftrightarrow \frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=5 \\  {} a=-7\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Với $a=5\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b=2 \\  {} c=\frac{-40}{37} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{5}+\frac{y}{2}-\frac{37}{40}z=1$hay $\left( P \right):8x+20y-37z-40=0$

Lời giải chi tiết

Giả sử $C\left( 0;0;c \right)$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1$

Ta có $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3.6.\left| c \right|=12\Leftrightarrow c=\pm 4$.

Chọn D

Lời giải chi tiết

Ta có: $A\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. $\overrightarrow{AB}=\left( -1;b;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;c \right)$

Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( bc;c;b \right) \right|=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C

Lời giải chi tiết

Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$(điều kiện $b,c>0$) suy ra $\left( P \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vì $H\in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=b+c \\  {} v=bc \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} v=2u \\  {} {{v}^{2}}+4\left( {{u}^{2}}-2v \right)=384 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} u=8;v=16 \\  {} u=-6;v=-12\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b+c=8 \\  {} bc=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=c=4$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0$. Chọn D

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\frac{6\sqrt{14}}{7}$

Khoảng cách từ $I\xrightarrow{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}$

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $mp\left( ABC \right)$$mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$. Chọn D