Bài tập Xét Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập Xét Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng có đáp án

Phương pháp giải vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-{{x}_{o}}}{a}=\frac{y-{{y}_{o}}}{b}=\frac{z-{{z}_{o}}}{c},$ phương trình tham số

$\left\{ \begin{array}  {} x={{x}_{o}}+at \\  {} y={{y}_{o}}+bt \\  {} z={{z}_{o}}+ct \\ \end{array} \right.({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ với $M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\in d$ và mặt phẳng (P) có phương trình

Ax+By+Cz+D=0 (A²+B²+C²>0).

Khi  $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0$ thì d//(P) hoặc d nằm trên (P) ta có:

•    $d\subset (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\  {} M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\in (P) \\ \end{array} \right.$
•    $d//(P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{{{u}_{d}}.}\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0 \\  {} M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\notin (P) \\ \end{array} \right.$
•    D cắt (P) $\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\ne 0$ và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}  {} x={{x}_{o}}+at \\  {} y={{y}_{o}}+bt \\  {} z={{z}_{o}}+ct \\  {} Ax+By+Cz+D=0 \\ \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được $t=-\frac{A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}}+D}{a.A+b.B+c.C}$

•     $d\bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}//\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}(k\ne 0)$ 

Chú ý:

- Nếu $d//(P)$ hoặc $d\subset (P)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{(P)}}}$

- Nếu $d\bot (P)$ thì vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ của d là vecto pháp tuyến của (P). Ngược lại, vecto pháp tuyến của (P) là vecto chỉ phương của d.

Bài tập vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có đáp án

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(4;3;1);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;5;-1)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=26\ne 0$ nên d cắt (P)

b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;4;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-3;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0\Rightarrow d$ song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)

Xét điểm $M(-1;3;0)\in d$ và $3.(-1)-3.3+2.0-5=-17\ne 0\Rightarrow M\notin (P)$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(8;2;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0$ nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)

Xét điểm $M(9;1;3)\in d$ và $M(9;1;3)\in (P)\Rightarrow d\subset (P)$

b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;4);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=22\ne 0$ nên d cắt (P).

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;2;-2),$ VTPT của (P) là $\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow d//(P)$ hoặc $d\subset (P).$ Mà $A(1;-1;0)\in d$ nhưng $A\notin (P)\Rightarrow d//(P).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Để $\Delta \bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}//\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \frac{10}{5}=\frac{2}{1}=\frac{m}{1}\Leftrightarrow m=2$.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=3+9-2\ne 0$ mà $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\ne k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow d$ cắt và không vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-3;1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;-1)$

Để ý rằng $\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4-3-1=0\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} d//(P) \\  {} d\subset (P) \\ \end{array} \right.$

Hơn nữa d qua $A(1;0;-1)$ mà $A\in (P)\Rightarrow d\subset (P).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Do $d//(P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=8-4-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=2 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right.$

Xét điểm $A(0;0;m)\in d.$ Cho $A\in (P)\Rightarrow {{m}^{3}}=8\Leftrightarrow m=2$ do đó $m=2$ thì d nằm trong (P). Vậy $m=-2$ thì $d//(P).$