Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Phương pháp giải bài toán mặt cầu của hình chóp

Xét khối chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC.$ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này).

 Dựng tâm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có $SO\bot \left( ABC \right).$ Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$ dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.

 Tính bán kính $R$ của mặt cầu.

Gọi E là trung điểm của AB.

Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng.

Suy ra $\frac{SO}{SE}=\frac{SA}{SI}\Leftrightarrow R=SI=\frac{SE.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}.$

Vậy $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}.$

 Tổng quát: Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S.{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}...S{{A}_{n}}=\ell $ và có chiều cao $SO=h$ thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ được tính theo công thức: $R=\frac{{{\ell }^{2}}}{2SO}=\frac{{{\ell }^{2}}}{2h}.$

Bài tập trắc nghiệm của mặt cầu của hình chóp có đáp án chi tiết

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABC \right)$

Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy $SA=a\sqrt{2};SO=\frac{a\sqrt{15}}{3}\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow V=\frac{4\sqrt{15}\pi {{a}^{3}}}{25}.$

Chọn B.

Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng a, với giả thiết

Lời giải

Gọi O là trung điểm $BC\Rightarrow O$  là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

\[\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SA;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{\left( SA;OA \right)}=\widehat{SAO}={{45}^{0}}\]

Tam giác ABC vuông cân tại $A\xrightarrow{{}}BC=AB\sqrt{2}=2a$

Tam giác SAO vuông cân tại $O\xrightarrow{{}}SO=OA=\frac{BC}{2}=a$

Vậy $SO=a;SA=OA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\xrightarrow{{}}R=a.$

Chọn D.

Lời giải

Gọi O là tâm tam giác $ABC,M$ là trung điểm BC

\[\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right);OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3};OM=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{6}\]

Kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right)\xrightarrow{{}}OH\bot \left( SBC \right)$

Ta có $d\left( A;\left( ABC \right) \right)=3.OH\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{6}}{4}:3=\frac{\sqrt{6}}{12}$

Tam giác SMO vuông tại M có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Vậy \[SO=\frac{\sqrt{3}}{6};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\xrightarrow{{}}R=\frac{5\sqrt{3}}{12}\]

Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{25\pi }{12}.$ Chọn A.

Lời giải

Tam giác SAB có $Ab=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$

Tam giác SAC vuông cân tại $S\xrightarrow{{}}AC=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

Suy ra $A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\xrightarrow{{}}\Delta ABC$ vuông tại C

Gọi O là trung điểm của $AB\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABC \right)$

Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a}{2}$

Vậy $SO=\frac{a}{2};SA=a\xrightarrow{{}}R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=a.$ Chọn B.

Lời giải

Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$.

Do đó $\widehat{SB;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SB;OB \right)}=\widehat{SBO}={{60}^{0}}.$

Tam giác SBO vuông tại O, có \[\left\{ \begin{matrix}   SB=\frac{OB}{\cos \widehat{SBO}}\text{     }  \\   SO=OB.\tan \widehat{SBO}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   SB=a\sqrt{2}\text{ }  \\   SO=\frac{a\sqrt{6}}{2}  \\\end{matrix} \right..\]

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là $R=\frac{S{{B}^{2}}}{2SO}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}:\left( 2.\frac{a\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy diện tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}.$ Chọn D.

Lời giải

Gọi M là trung điểm $BC\Rightarrow OM\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SMO \right)$.

Do đó $\widehat{\left( SBC \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MO \right)}=\widehat{SMO}={{45}^{0}}.$

Vì ABCD là hình vuông có $AC=2a\xrightarrow{{}}AB=a\sqrt{2}$

Tam giác SMO vuông cân tại $O\Rightarrow SO=OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2};SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\xrightarrow{{}}R=\frac{3\sqrt{2}}{4}a.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( SB;AD \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$

Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$.

Gọi M là trung điểm $BC;$ kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right)$

$\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2.OH\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SMO vuông, có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$

Vậy $SO=a\sqrt{3};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=a\sqrt{5}\xrightarrow[{}]{}R=R=\frac{5\sqrt{6}}{3}a.$

Chọn D.

Lời giải

Xét mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$

Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2h}\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=18h\text{   (*)}$

Đặt $AB=x\xrightarrow{{}}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{h.{{x}^{2}}}{3}$

Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow S{{A}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}={{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}$

Thay vào (*), ta được ${{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}=18h\xrightarrow{{}}{{x}^{2}}=36h-2{{h}^{2}}$

Do đó $V=\frac{h}{3}.\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)=12{{h}^{2}}-\frac{2}{3}{{h}^{3}}\xrightarrow{casio}{{V}_{\max }}=576.$ Chọn B.